Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210km\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24km/h\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
\(s=210km\) – trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) – prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) – prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) – czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) – czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases}
vt=210 \\
(v-24)(t+1)=210
\end{cases}
Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210 \\
210+\frac{210}{t}-24t-24=210 \\
\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t \\
210-24t^2-24t=0 \\
-24t^2-24t+210=0$$
Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$
Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$
$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$
Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.
\(t=2,5\) godziny
