Obliczenia praktyczne - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 6. (3pkt) Pan Kazimierz przejechał trasę o długości \(90km\) w czasie \(1,5\) godziny. W drodze powrotnej tę samą trasę pokonał w czasie o \(15\) minut krótszym. O ile kilometrów na godzinę była większa jego średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej?
Odpowiedź
Prędkość jazdy w drodze powrotnej była większa o \(12\frac{km}{h}\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie średniej prędkości jazdy.
Pan Kazimierz przejechał trasę \(90km\) w czasie \(1,5h\), zatem jego średnia prędkość jazdy wyniosła:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,5h} \\
v=60\frac{km}{h}$$
Krok 2. Obliczenie średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej.
W drodze powrotnej Pan Kazimierz pokonał trasę o \(15\) minut szybciej. Skoro początkowo przejechał trasę w \(1,5h\) (czyli \(90\) minut), to w drodze powrotnej przejechał ten dystans w \(90-15=75\) minut. Musimy jeszcze te minuty zamienić na godziny, a więc możemy zapisać, że \(75\) minut to \(1,25h\). Długość trasy się nie zmieniła, nadal \(s=90km\), zatem możemy już przystąpić do liczenia średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,25h} \\
v=72\frac{km}{h}$$
Krok 3. Obliczenie o ile wzrosła średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej.
Skoro na początku średnia prędkość wyniosła \(60\frac{km}{h}\), a w drodze powrotnej było to już \(72\frac{km}{h}\), to średnia prędkość jazdy Pana Kazimierza wzrosła o:
$$72\frac{km}{h}-60\frac{km}{h}=12\frac{km}{h}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną stronę (patrz: Krok 1. lub Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną i drugą stronę (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 7. (3pkt) Na rysunku pokazano plan dwóch dróg, którymi Ula chodzi do szkoły.
Przyjmij, że Ula porusza się ze stałą prędkością \(4\frac{km}{h}\). Oblicz, o ile minut krócej Ula idzie do szkoły drogą \(B\) niż drogą \(A\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości drogi \(B\).
Zacznijmy od obliczenia długości drogi \(B\) (czyli tej po ukosie). Z racji tego, iż na rysunku mamy trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$600^2+800^2=c^2 \\
360000+640000=c^2 \\
c^2=1000000 \\
c=1000$$
Wyszło nam, że długość drogi \(B\) jest równa \(1000m\), czyli \(1km\). Zamiana metrów na kilometry jest bardzo ważna, ponieważ prędkość mamy wyrażoną w \(\frac{km}{h}\).
Krok 2. Obliczenie czasu pokonania drogi \(A\).
Droga \(A\) ma długość \(800m+600m=1400m=1,4km\). Wiemy, że Ula porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\), zatem korzystając ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$
Podstawiając teraz dane \(s=1,4km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), otrzymamy:
$$t=\frac{1,4km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,35h$$
Krok 3. Obliczenie czasu pokonania drogi \(B\).
Analogicznie obliczymy czas pokonania drogi \(B\). Tutaj \(s=1km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), zatem:
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{1km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,25h$$
Krok 4. Obliczenie różnicy czasu.
Skoro drogę \(A\) pokonujemy w czasie \(0,35h\), a drogę \(B\) w czasie \(0,25h\), to różnica czasu wyniesie:
$$0,35h-0,25h=0,1h$$
Proszą nas o podanie tego czasu w minutach, a skoro jedna godzina to \(60\) minut, to:
$$0,1\cdot60min.=6min.$$
To oznacza, że Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.) oraz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 8. (1pkt) Marta i Jacek, wyjeżdżając na wycieczkę rowerową, spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania oddalonych o \(8km\). Marta jechała ze średnią szybkością \(16 km/h\), a Jacek \(20 km/h\). Marta wyjechała z domu o godzinie 14:00. O której godzinie wyjechał Jacek, jeżeli na miejsce spotkania dotarł o tej samej godzinie co Marta?
A. 13:53
B. 13:57
C. 14:03
D. 14:12
Wyjaśnienie:
Krok 1. Interpretacja danych z treści zadania.
Na początku musimy sobie dobrze przeanalizować to zadanie i ustalić chociażby to ile kilometrów pokona każdy z rowerzystów. Skoro Marta i Jacek spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania, które są oddalone o \(8km\), to zarówno Marta jak i Jacek przejechali \(4km\).
Zanim przejdziemy do obliczeń, to spróbujmy też ustalić o której godzinie mógłby wyjechać Jacek - czy to będzie przed godziną 14:00, czy też po? Skoro Jacek jechał szybciej, to i czas jazdy miał mniejszy, bo szybciej pokonał swój dystans. Skoro tak, to na pewno wyjechał później, czyli po 14:00. Ta prosta analiza już na wstępie pozwala nam ograniczyć się do dwóch ostatnich odpowiedzi.
Krok 2. Obliczenie czasu jazdy Marty.
Marta jechała z prędkością \(v=16 km/h\), zatem dystans \(s=4km\) pokonała w czasie:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{16km/h} \\
t=\frac{1}{4}h=15min$$
Krok 3. Obliczenie czasu jazdy Jacka.
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{20km/h} \\
t=\frac{1}{5}h=12min$$
Krok 4. Ustalenie czasu wyjazdy Jacka.
Z obliczeń w kroku drugim i trzecim wynika, że Jacek jechał \(3\) minuty szybciej. Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - wyjedzie on \(3\) minuty po Marcie, czyli o godzinie 14:03.
Zadanie 9. (1pkt) Mateusz mieszka w odległości \(4km\) od szkoły. Część drogi do szkoły pokonuje pieszo, idąc do przystanku autobusowego. Tam czeka na autobus, a następnie wsiada do niego i jedzie do szkoły. Pewnego dnia, gdy był już na przystanku, stwierdził, że zapomniał zabrać zeszyt, więc wrócił po niego do domu. Wykres przedstawia, jak tego dnia zmieniała się odległość Mateusza od domu w zależności od czasu.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Dom Mateusza znajduje się w odległości \(400m\) od przystanku autobusowego.
Autobus poruszał się ze średnią prędkością \(54\frac{km}{h}\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą. Szukamy na wykresie sytuacji w której mamy prostą linię poziomą (wtedy Mateusz stoi w miejscu, czyli stoi na przystanku). Widzimy wyraźnie, że linia wykresu staje prosta na wysokości dwóch kratek, a skoro pięć kratek oznacza odległość 1km, to dwie kratki stanowią właśnie \(\frac{2}{5}\cdot1km=400m\).
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Przystanek znajduje się \(400m\) od domu Mateusza. Szkoła znajduje się w odległości \(4km\). Czyli autobus pokonał trasę:
$$4km-0,4km=3,6km$$
Autobus ruszył w 22 minucie naszego wykresu, a na metę dotarł w \(26\) minucie, czyli cała podróż trwała \(4\) minuty. Jeżeli \(4min=\frac{1}{15}h\), to autobus jechał z prędkością:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{3,6km}{\frac{1}{15}h} \\
v=54\frac{km}{h}$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 11. (3pkt) Bilet normalny na koncert kosztuje \(45 zł\), a cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż biletów ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił \(500 zł\). Ile biletów każdego rodzaju Janek zakupił? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Janek kupił \(2\) bilety ulgowe i \(10\) biletów normalnych.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny biletu ulgowego.
Skoro cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego, to bilet ulgowy kosztuje:
$$\frac{5}{9}\cdot45zł=25zł$$
Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba zakupionych biletów ulgowych
\(5x\) - liczba zakupionych biletów normalnych
Skoro bilet ulgowy kosztuje \(25zł\), a normalny \(45zł\), to możemy zapisać, że:
\(25\cdot x\) - tyle złotych zapłacono za bilety ulgowe
\(45\cdot5x=225x\) - tyle złotych zapłacono za bilety normalne
Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że za wszystkie bilety zapłacono \(500zł\), a skoro tak, to powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$25x+225x=500 \\
250x=500 \\
x=2$$
Krok 4. Ustalenie liczby biletów ulgowych i normalnych.
Otrzymaliśmy wynik \(x=2\). Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wiemy już zatem, że biletów ulgowych kupiono dwie sztuki. Musimy jeszcze ustalić, ile było biletów normalnych. Tych jest pięć razy więcej niż ulgowych, czyli będzie ich \(5\cdot2=10\).
Zadanie 12. (2pkt) W tabeli podano cenniki dwóch korporacji taksówkowych. Należność za przejazd składa się z jednorazowej opłaty początkowej i doliczonej do niej opłaty zależnej od długości przejechanej trasy.
Pan Jan korzystał z Taxi „Jedynka”, a pan Wojciech - z Taxi „Dwójka”. Obaj panowie pokonali trasę o tej samej długości i zapłacili tyle samo. Ile kilometrów miała trasa, którą przejechał każdy z nich?
Odpowiedź
Każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ułożenie równań do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech przejechali trasę o jednakowej długości. Oznaczmy więc sobie liczbę pokonanych kilometrów jako niewiadomą \(x\).
Teraz naszym zadaniem jest ułożenie odpowiednich równań. Zacznijmy od Pana Jana i taksówki "Jedynka". Opłata początkowa jest równa \(3,2zł\), a do tego za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(3,2zł\). Skoro więc Pan Jan przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$3,2+3,2\cdot x$$
Podobnie możemy rozpatrzeć jazdę Pana Wojciecha w taksówce "Dwójka". Tutaj opłata początkowa jest równa \(8zł\), a za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(2,4zł\). Skoro więc Pan Wojciech przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$8+2,4\cdot x$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech zapłacili za swój kurs jednakową kwotę. To oznacza, że między wyrażeniem \(3,2+3,2\cdot x\) oraz \(8+2,4\cdot x\) możemy postawić znak równości. Skoro tak, to:
$$3,2+3,2\cdot x=8+2,4\cdot x \quad\bigg/-3,2 \\
3,2x=4,8+2,4x \quad\bigg/-2,4x \\
0,8x=4,8 \\
x=6$$
To oznacza, że każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy metodą "prób i błędów" obliczysz koszt przejazdu taksówkami jednej i drugiej firmy dla przynajmniej dwóch różnych długości.
LUB
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 13. (1pkt) Za \(30dag\) orzechów pistacjowych zapłacono \(15,75zł\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Za \(40dag\) tych orzechów należy zapłacić \(21zł\).
Cena \(1kg\) tych orzechów jest równa \(52,50zł\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(30dag\) orzechów kosztuje \(15,75zł\)
To \(10dag\) orzechów kosztuje \(5,25zł\)
Więc \(40dag\) orzechów kosztuje \(21zł\)
Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Możemy ułożyć prostą proporcję, pamiętając o tym że \(1kg=100dag\):
Skoro 30dag\) orzechów kosztuje \(15,75zł\)
To \(10dag\) orzechów kosztuje \(5,25zł\)
Więc \(100dag\;(1kg)\) kosztuje \(52,50zł\)
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 14. (1pkt) Na spektakl dostępne były bilety normalne w jednakowej cenie oraz bilety ulgowe, z których każdy kosztował o \(50\%\) mniej niż normalny. Pani Anna za \(3\) bilety normalne i \(2\) bilety ulgowe zapłaciła \(120\) złotych. Na ten sam spektakl pan Jacek kupił \(2\) bilety normalne i \(3\) ulgowe, a pan Marek kupił \(2\) bilety normalne i \(1\) ulgowy.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Pan Jacek zapłacił za bilety \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
A. \(120zł\)
B. \(105zł\)
Pani Anna zapłaciła za bilety o \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) więcej niż pan Marek.
C. \(45zł\)
D. \(30zł\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny biletu normalnego i ulgowego.
Musimy ułożyć odpowiednie równanie, które pozwoli nam obliczyć cenę każdego biletu. Wprowadźmy sobie zatem proste oznaczenia:
\(x\) - cena biletu normalnego
\(0,5x\) - cena biletu ulgowego
Wiemy, że Pani Anna kupiła \(3\) bilety normalne i \(2\) ulgowe i zapłaciła \(120zł\), czyli powstaje nam równanie:
$$3x+2\cdot0,5x=120zł \\
3x+x=120zł \\
4x=120zł \\
x=30zł$$
Bilet normalny kosztuje więc \(30zł\), a ulgowy kosztuje \(0,5\cdot30zł=15zł\).
Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Pan Jacek kupił \(2\) bilety normalne oraz \(3\) ulgowe, czyli zapłacił:
$$2\cdot30zł+3\cdot15zł=60zł+45zł=105zł$$
Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Pan Marek kupił \(2\) bilety normalne oraz \(1\) ulgowy, czyli zapłacił:
$$2\cdot30zł+15zł=75zł$$
Pani Anna wydała na bilety \(120zł\), czyli zapłaciła \(120zł-75zł=45zł\) więcej od Pana Marka.
Zadanie 15. (2pkt) W tabeli przedstawiono ceny kupna i sprzedaży dwóch walut w kantorze Pik.
Marcin chce wymienić \(400\) funtów brytyjskich na dolary. W tym celu musi najpierw wymienić funty na złotówki, a następnie – otrzymane złotówki na dolary. Ile dolarów otrzyma Marcin, jeżeli wymieni walutę w kantorze Pik?
Odpowiedź
Marcin otrzyma \(480\) dolarów.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Interpretacja tabeli kursów walut.
Największą pułapką w tym zadaniu jest zrozumienie tabeli kursów walut. Kolumna "kupno" pokazuje po jakiej cenie kantor kupuje waluty od swoich klientów. Kolumna "sprzedaż" pokazuje po jakiej cenie kantor sprzedaje waluty. Bardzo często jest tak, że mylnie interpretujemy tę tabelę i patrzymy na nią z perspektywy klienta, ale byłoby to nielogiczne gdybyśmy w tym samym kantorze mogli kupić dolara za \(4,18zł\) i sprzedać go za \(4,25zł\).
Krok 2. Obliczenie ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów.
Kantor kupuje funta po kursie \(5,10zł\). Skoro Marcin ma \(400\) funtów, to kantor zapłaci mu:
$$400\cdot5,10zł=2040zł$$
Krok 3. Obliczenie ile dolarów otrzyma Marcin za \(2040zł\).
Kantor sprzedaje dolary po kursie \(4,25zł\). Skoro Marcin ma \(2040zł\), to kantor wyda mu:
$$2040zł:4,25zł=480$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz ile dolarów otrzyma Marcin za \(1\) funt brytyjski (\(1,2\) dolara za \(1\) funta).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 16. (3pkt) W tabeli podano wybrane informacje na temat dwóch rodzajów herbat, które pije rodzina Nowaków.
Rodzina ta wypija dziennie średnio \(12\) kubków herbaty i zamierza kupić możliwie najmniejszą liczbę opakowań herbaty jednego rodzaju, aby wystarczyło jej na \(30\) dni. Oblicz koszt zakupu herbaty sypkiej oraz koszt zakupu herbaty w torebkach.
Odpowiedź
Za herbatę w torebkach trzeba zapłacić \(68zł\), a za herbatę sypaną \(75zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie kosztu picia herbaty w torebkach.
Skoro rodzina wypija \(12\) torebek dziennie, to w ciągu miesiąca wypije:
$$12\cdot30=360\text{ torebek}$$
Herbata pakowana jest w opakowaniu po \(50\) torebek, więc tych opakowań potrzebujemy:
$$360:50=7,2$$
To oznacza, że \(7\) opakowań nam nie wystarczy, musimy zatem kupić \(8\) opakowań, bo zgodnie z treścią zadania interesuje nas możliwie jak najmniejsza liczba opakowań herbaty, tak aby starczyło jej na \(30\) dni.
Skoro tak, to za herbatę w torebkach zapłacimy:
$$8\cdot8,5zł=68zł$$
Krok 2. Obliczenie kosztu picia herbaty sypanej.
Chcemy przyrządzać \(12\) herbat dziennie, czyli miesięcznie będzie to:
$$30\cdot12=360\text{ herbat}$$
Każdy napar potrzebuje \(2g\) liści herbaty, czyli potrzebujemy:
$$360\cdot2g=720g$$
Herbata sypka sprzedawana jest w opakowaniach po \(50g\), czyli takich opakowań potrzebujemy:
$$720g:50g=14,4$$
To oznacza, że tak naprawdę potrzebujemy \(15\) opakowań (bo \(14\) to za mało). Skoro każde opakowanie kosztuje \(5zł\), to za całość zapłacimy:
$$15\cdot5zł=75zł$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zaczniesz liczyć koszt zakupu herbaty w torebkach lub sypkiej, ale popełnisz błąd rachunkowy i otrzymasz błędne wyniki.
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt zakupu jednego rodzaju herbaty - torebkach lub sypkiej (Krok 1. lub Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.
Zadanie 17. (1pkt) Na rysunku przedstawiono kartkę z kalendarza na rok 2017.
Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa – 18 sierpnia, a brat Karol – 2 października.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
W 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek.
W 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Najlepiej jest to zadanie zrobić cofając się tydzień po tygodniu:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 24 sierpnia to czwartek
17 sierpnia to czwartek
Zatem 18 sierpnia to piątek
Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zadanie jest najlepiej zrobić w ten sposób:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 1 września to piątek
Zatem 8, 15, 22, 29 września to także piątek
30 września to sobota
1 października to niedziela
2 października to poniedziałek
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 18. (3pkt) W zakładzie krawieckim są szyte poduszki dla zwierząt domowych. Praca w tym zakładzie trwa pięć dni w tygodniu - od poniedziałku do piątku - po \(7\) godzin dziennie. W 2020 roku 1 marca wypadł w niedzielę i w tym miesiącu nie było żadnych dni wolnych oprócz sobót i niedziel. W ciągu każdej godziny pracy szyto średnio \(3\) poduszki. Ile poduszek uszyto w tym zakładzie w marcu 2020 roku?
Odpowiedź
\(462\) poduszki
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie ile jest dni roboczych w marcu.
Marzec ma \(31\) dni. Skoro 1 marca wypadł w niedzielę, to dni wolnych od pracy (sobota oraz niedziela) mamy:
1 marca (niedziela)
7 marca (sobota) oraz 8 marca (niedziela)
14 marca (sobota) oraz 15 marca (niedziela)
21 marca (sobota) oraz 22 marca (niedziela)
28 marca (sobota) oraz 29 marca (niedziela)
Wyszło nam, że w marcu mamy \(9\) dni wolnych od pracy, zatem dni roboczych mamy:
$$31-9=22$$
Krok 2. Obliczenie liczby godzin pracujących.
Mamy \(22\) dni robocze, a w każdym dniu krawcowe pracują po \(7\) godzin dziennie, zatem wszystkich godzin pracujących będzie:
$$22\cdot7=154$$
Krok 3. Obliczenie liczby uszytych poduszek.
W ciągu godziny krawcowe szyją średnio \(3\) poduszki, zatem wszystkich uszytych poduszek będziemy mieć:
$$154\cdot3=462$$
Zadanie 19. (1pkt) Kasia zauważyła, że ścienny zegar w mieszkaniu babci w ciągu każdej godziny spóźnia się o kolejne \(4\) minuty. Gdy poprawnie działający zegarek Kasi wskazywał godzinę 9:00, dziewczynka ustawiła na zegarze ściennym tę samą godzinę. Przyjęła, że w każdym kolejnym kwadransie opóźnienie jest jednakowe.
Którą godzinę wskaże – zgodnie z założeniami Kasi – zegar ścienny po upływie \(2\) godzin i \(3\) kwadransów od godziny 9:00, jeżeli zachowana zostanie zaobserwowana tendencja opóźniania?
A. 11:34
B. 11:37
C. 11:41
D. 11:56
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wskazanie poprawnej godziny.
Sprawdźmy na początku którą to godzinę powinien wskazywać zegarek, gdyby się nie spóźniał. Skoro kwadrans to \(15\) minut, to trzy kwadranse to \(45\) minut. Po upływie dwóch godzin i trzech kwadransów od godziny 09:00 zegar powinien więc wskazywać godzinę 11:45.
Krok 2. Ustalenie wielkości spóźnienia.
W ciągu godziny zegarek spóźnia się o \(4\) minuty. Korzystając z proporcji możemy powiedzieć, że skoro kwadrans to \(\frac{1}{4}\) godziny, to w ciągu kwadransa zegarek spóźnia się dokładnie o minutę.
To oznacza, że:
W ciągu dwóch godzin zegarek spóźni się o \(8\) minut.
W ciągu trzech kwadransów zegarek spóźni się o \(3\) minuty.
W ciągu dwóch godzin i trzech kwadransów zegarek spóźni się o \(8+3=11\) minut.
Krok 3. Ustalenie wskazania zegarka.
Musimy ustalić co to znaczy, że zegarek się spóźnia. Skoro zegarek się spóźnia, to powinien wskazywać godzinę wcześniejszą niż 11:45. My wiemy, że zegarek jest spóźniony o łącznie \(11\) minut, więc wskaże nam godzinę 11:34.
Zadanie 20. (1pkt) Asia wzięła udział w zajęciach teatralnych. Zajęcia składały się z \(2\) części. Każda część trwała tyle samo minut. Pomiędzy pierwszą a drugą częścią była \(10\)-minutowa przerwa. Zajęcia rozpoczęły się o godzinie \(17:45\), a zakończyły o godzinie \(19:05\).
Druga część zajęć rozpoczęła się o godzinie:
A. \(18:20\)
B. \(18:25\)
C. \(18:30\)
D. \(18:35\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości trwania zajęć.
Zajęcia trwały od \(17:45\) do \(19:05\), a więc trwały one \(1\) godzinę i \(20\) minut, czyli \(80\) minut.
Krok 2. Obliczenie długości trwania jednej części.
Wiemy, że przerwa stanowiła \(10\) minut z tych \(80\). To oznacza, że obydwie części zajęć (bez przerwy) trwały łącznie \(80-10=70\) minut. Każda część trwała tyle samo minut, więc pojedyncza część trwała \(70:2=35\) minut.
Krok 3. Obliczenie, kiedy zaczęła się druga część.
Zajęcia rozpoczęły się o godzinie \(17:45\). Pierwsza część trwała \(35\) minut, więc trwała do godziny \(18:20\). Nie jest to jednak jeszcze czas rozpoczęcia drugiej części, bo mieliśmy \(10\) minut przerwy, zatem druga część rozpoczęła się o godzinie \(18:30\).
Zadanie 21. (1pkt) Tata Bartka przed wyjazdem z Krakowa do Warszawy analizuje niektóre bezpośrednie połączenia między tymi miastami. Do wyboru ma cztery połączenia przedstawione w poniższej tabeli.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Za przejazd w najkrótszym czasie należy zapłacić \(49zł\).
Zgodnie z rozkładem jazdy tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż \(4\) godziny.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie czasu jazdy w każdym z połączeń.
Aby ocenić prawdziwość każdego ze zdań musimy obliczyć czas jazdy dla każdego połączenia:
I połączenie: \(4godz. 55min.\)
II połączenie: \(2godz. 40min.\)
III połączenie: \(3godz. 48min.\)
IV połączenie: \(2godz. 17min.\)
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zgodnie z obliczeniami z poprzedniego kroku widzimy, że najkrótsze jest IV połączenie i faktycznie bilet kosztuje tutaj \(49zł\). Zdanie jest więc prawdą.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z tym co obliczyliśmy w pierwszym kroku możemy stwierdzić, że faktycznie tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż \(4\) godziny.
Zadanie 22. (2pkt) Na pływalni w marcu obowiązywała promocja.
Wojtek był w marcu codziennie jeden raz na pływalni i wykorzystał wszystkie ulgi promocyjne. Ile kosztowało go korzystanie z pływalni w marcu?
Odpowiedź
Wojtek zapłacił \(216zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby dni z bezpłatnymi wyjściami na basen.
Marzec ma \(31\) dni. Skoro co czwarty dzień Wojtek pływał za darmo, to takich bezpłatnych wyjść na basen miał dokładnie \(7\):
4 marca
8 marca
12 marca
16 marca
20 marca
24 marca
28 marca
Krok 2. Ustalenie liczby płatnych wyjść na basen.
Wojtek był na basenie \(31\) razy, z czego \(7\) wejść miał bezpłatnych. To oznacza, że płatnych wejść miał:
$$31-7=24$$
Krok 3. Obliczenie wydatków.
Skoro każde płatne wejście kosztuje \(9zł\), a Wojtek miał takich wejść \(24\), to przez cały marzec zapłacił za nie:
$$24\cdot9zł=216zł$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę płatnych wejść na basen (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz ile dni Wojtek wchodził na basen za darmo i jaką miał w związku z tym oszczędność (\(7\cdot9zł=63zł\)).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 24. (3pkt) Karat jubilerski to jednostka masy kamieni szlachetnych. Termin ten pochodzi od greckiego słowa keration, oznaczającego śródziemnomorską roślinę, która po polsku nazywa się szarańczyn. Jest to drzewo z rodziny motylkowatych o liściach złożonych, parzystopierzastych (o parzystej liczbie listków). Nasiona z jego dojrzałych strąków - drobne, twarde, o bardzo wyrównanej (\(197\) miligramów) masie - stosowane były jako odważniki. Współcześnie do podawania masy kamieni szlachetnych i pereł służy karat metryczny \((ct)\) równy \(0,2g\). Największy z dotychczas znalezionych diamentów (noszący nazwę Cullinan) miał masę \(3106ct\). Wykonano z niego \(105\) brylantów, tracąc przy obróbce aż \(65\%\) pierwotnej masy kamienia.
Ile karatów mają łącznie brylanty wykonane z Cullinana?
Odpowiedź
Brylanty mają łącznie \(1087,1ct\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ilości odpadków.
Ogólnie choć treść zadania jest dość długa to interesuje nas jedna informacja - z diamentów robimy brylanty, tracąc jednak przy tym trochę masy kamienia. W przypadku diamentu Cullinan wiemy że miał on masę \(3106ct\) i podczas obróbki na brylanty stracił on \(65\%\) swojej masy, czyli stracił:
$$0,65\cdot3106ct=2018,9ct$$
Krok 2. Obliczenie karatów brylantów.
Skoro diament miał \(3106ct\) i stracił podczas obróbki \(2018,9ct\), to otrzymane z niego brylanty mają łącznie:
$$3106ct-2018,9ct=1087,1ct$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość odpadków (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale użyjesz błędnej jednostki (np. gramy zamiast karatów).
ALBO
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale zastosujesz przybliżenie liczby bez podania wartości po przecinku.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (1pkt) Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek z tworzywa sztucznego przez \(4\) godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przez \(8\) godzin taką samą partię butelek wykonają \(3\) takie maszyny.
Połowę partii takich butelek \(6\) maszyn wykona przez \(2\) godziny.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Załóżmy, że w jedna maszyna w ciągu godziny produkuje \(x\) butelek.
W ciągu \(4\) godzin ta maszyna wyprodukuje \(4x\) butelek, a skoro działa \(6\) takich maszyn, to wyprodukują one łącznie \(6\cdot4x=24x\) butelek.
W proponowanym \(8\)-godzinnym wariancie każda maszyna wyprodukuje przez \(8\) godzin \(8x\) butelek, a skoro pracują \(3\) takie maszyny to łącznie wyprodukują one \(3\cdot8x=24x\) butelek.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. \(6\) maszyn wyprodukuje \(6x\) butelek w ciągu godziny, czyli \(12x\) butelek w ciągu dwóch godzin. To dokładnie połowa partii z treści zadania, bo \(24x:2=12x\).
Zadanie 27. (1pkt) Grupa turystów w ciągu pierwszej godziny marszu pokonała pewien odcinek trasy. W każdej następnej godzinie pokonywany dystans był o \(0,5km\) krótszy od dystansu pokonanego w poprzedniej godzinie. W ciągu pierwszych pięciu godzin marszu turyści przeszli łącznie \(17,5km\) trasy. Odcinek trasy, który turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu, miał długość:
A. 3,1km
B. 3,5km
C. 3,9km
D. 4,0km
E. 4,5km
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$
Zadanie 28. (1pkt) Napój otrzymano, po tym jak rozcieńczono \(450ml\) soku wodą w stosunku \(1:10\). Ile napoju otrzymano?
A. Więcej niż \(4\) litry, ale mniej niż \(4,5\) litra
B. Dokładnie \(4,5\) litra
C. Więcej niż \(4,5\) litra, ale mniej niż \(5\) litrów
D. Dokładnie \(5\) litrów
E. Więcej niż \(5\) litrów
Wyjaśnienie:
Jeżeli rozcieńczono sok w stosunku \(1:10\) to oznacza, że wody jest \(10\) razy więcej niż soku. Skoro mamy \(450ml\) soku, to znaczy że wody było \(10\cdot450ml=4,5l\).
Soku jest \(450ml\) (czyli \(0,45l\)), wody jest \(4,5l\), zatem napoju mamy:
$$0,45l+4,5l=4,95l$$
Otrzymaliśmy więc więcej niż \(4,5\) litra soku, ale mniej niż \(5\) litrów.
Super zadania. Polecam :)
świetnie zadania! bardzo dziękuję, wszystko cudownie wytłumaczone
Świetne zadania <3
W zadaniu 24 przypadkiem wyniku nie powinniśmy pomnożyć przez ilość kamieni czyli w tym przypadku 105. Bo pytanie ma treść; jaką mają masę kamienie po obróbce a nie kamień.
Z tego dużego kamienia powstało 105 małych kamieni, więc od razu liczymy masę ich wszystkich razem wziętych. Gdybyśmy pomnożyli otrzymany wynik przez 105, to wyszłoby, że te kamienie ważą łącznie kilkadziesiąt razy więcej niż diament, z którego były zrobione ;)
Stronka bardzo mi się podoba dostałem 100% z próbnego
masz rację, to samo chciałem powiedzieć
dziękuję bardzo za wytłumaczenie zadań i pomoc w przygotowaniu do egzaminu ósmoklasisty
Fajne zadania!!
Czemu w 3zad. razy30?
Zbudowałem tutaj proporcję. Wiemy, że w 2 minuty pokonujemy 0,7km, zatem w 60 minut (czyli w czasie 30 razy dłuższym) pokonamy dystans 30 razy większy niż 0,7km – stąd właśnie to 30 :)
mega polecam
Wow te zadania są świetne! Wytłumaczenia jeszcze lepsze, wszystko dzięki temu zrozumiałem i napisałem dziś z tego sprawdzian! Coś czuję że mi bardzo dobrze poszło! Polecam to :D
wszystko jest super natomiast wydaje mi się że w zadaniu 15 jest błąd ponieważ
Maciek wymieniając funty na złotówki powinien pomnożyć przez cenę sprzedaży a nie kupna.
Patrzymy na cenę kupna, bo to kantor kupuje od nas te funty, więc wszystko jest dobrze ;)
No nie do końca to tak wygląda. W zadaniu jest napisane „kupna i sprzedaży dwóch walut w kantorze Pik” co trudno nawet sobie zinterpretować w sposób w jaki wy to dokonaliście. Jeśli to kantor miałby od nas kupować, zdanie powinno wyglądać „kupno i sprzedaż dwóch walut przez kantor Pik?”.
No ale tak to właśnie wygląda w kantorach ;) No nawet na logikę – kantor kupuje taniej, sprzedaje drożej, a różnica stanowi zysk kantoru ;) Gdyby było odwrotnie, to każdy głupi przyszedłby do kantoru, sprzedał walutę drożej, a potem za chwilę odkupił taniej – no przecież to nie jest logiczne ;)
Fajne ćwiczenia, dużo można się douczyć dzięki opcji ”wyjaśnienie”. Warte do powtórzenia przed egzaminem, zobaczymy tylko jakie będą z tej nauki rezultaty…
Kocham wasze zadania idealnie sobie tak powtórzyć przed egzaminem
Super zadania :) Idealne na powtórkę przed E8
<3