Obliczenia praktyczne - zadania (egzamin ósmoklasisty)
Zadanie 3. (1pkt) Marta i Jacek, wyjeżdżając na wycieczkę rowerową, spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania oddalonych o \(8km\). Marta jechała ze średnią szybkością \(16 km/h\), a Jacek \(20 km/h\). Marta wyjechała z domu o godzinie 14:00. O której godzinie wyjechał Jacek, jeżeli na miejsce spotkania dotarł o tej samej godzinie co Marta?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Interpretacja danych z treści zadania.
Na początku musimy sobie dobrze przeanalizować to zadanie i ustalić chociażby to ile kilometrów pokona każdy z rowerzystów. Skoro Marta i Jacek spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania, które są oddalone o \(8km\), to zarówno Marta jak i Jacek przejechali \(4km\).
Zanim przejdziemy do obliczeń, to spróbujmy też ustalić o której godzinie mógłby wyjechać Jacek - czy to będzie przed godziną 14:00, czy też po? Skoro Jacek jechał szybciej, to i czas jazdy miał mniejszy, bo szybciej pokonał swój dystans. Skoro tak, to na pewno wyjechał później, czyli po 14:00. Ta prosta analiza już na wstępie pozwala nam ograniczyć się do dwóch ostatnich odpowiedzi.
Krok 2. Obliczenie czasu jazdy Marty.
Marta jechała z prędkością \(v=16 km/h\), zatem dystans \(s=4km\) pokonała w czasie:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{16km/h} \\
t=\frac{1}{4}h=15min$$
Krok 3. Obliczenie czasu jazdy Jacka.
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{20km/h} \\
t=\frac{1}{5}h=12min$$
Krok 4. Ustalenie czasu wyjazdy Jacka.
Z obliczeń w kroku drugim i trzecim wynika, że Jacek jechał \(3\) minuty szybciej. Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - wyjedzie on \(3\) minuty po Marcie, czyli o godzinie 14:03.
Zadanie 6. (1pkt) Pasją Filipa są komputery. Filip wie, że elementarną jednostką informacji jest bit. Jeden bit informacji jest kodowany jedną z dwóch wartości \(0\) lub \(1\). Dwóm bitom odpowiadają cztery możliwości: \(00, 01, 10, 11\). Ile możliwości odpowiada trzem bitom?
Wyjaśnienie:
Trzem bitom odpowiadają następujące wartości:
$$000, 010, 001, 011 \\
100, 110, 101, 111$$
Takich możliwości ułożenia kombinacji mamy więc \(8\).
Zadanie 7. (1pkt) Jeżeli struś ma masę \(100kg\), a kura masę \(1kg\), to zgodnie z tabelą różnica mas ich jaj wyrażona w gramach jest równa:
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie masy jaja strusia.
Masa jaja strusia ważącego \(100kg\) stanowi \(1\%\) masy zwierzaka, czyli:
$$M_{s}=0,01\cdot100kg=1kg$$
Krok 2. Obliczenie masy jaja kury.
Masa jaja kury ważącej \(1kg\) stanowi \(4\%\) masy ptaka, czyli:
$$M_{j}=0,04\cdot1kg=0,04kg$$
Krok 3. Obliczenie różnicy mas jaj.
Musimy obliczyć różnicę mas obydwu jaj, pamiętając o tym, że \(1kg=1000g\), zatem:
$$1kg-0,04g=1000g-40g=960g$$
Zadanie 8. (1pkt) Jeżeli struś ma masę \(100kg\), a kura masę \(1kg\), to zgodnie z tabelą różnica mas ich jaj wyrażona w gramach jest równa:

Które zdanie o zależności czasu inkubacji od masy ciała ptaka jest prawdziwe?
Wyjaśnienie:
Prześledźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. Czas inkubacji jest wprost proporcjonalny do masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo przykładowo ptak o masie \(10g\) ma czas inkubacji \(10\) dni, a ptak \(10\) razy większy (\(100g\)) ma zaledwie \(60\%\) większy czas inkubacji, który wynosi \(16\) dni. Aby wielkości były wprost proporcjonalne, to czas inkubacji musiałby także być \(10\) razy większy, czyli wynosić \(100\) dni.
Odp. B. Czas inkubacji rośnie wraz ze wzrostem masy ciała ptaka
Komentarz: To jest prawda, bo faktycznie im większa masa ptaka tym dłuższy czas inkubacji.
Odp. C. Czas inkubacji jest odwrotnie proporcjonalny do masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo wraz ze wzrostem masy ciała wzrasta czas inkubacji (przy wartościach odwrotnie proporcjonalnych wraz ze wzrostem masy ciała czas inkubacji powinien proporcjonalnie maleć).
Odp. D. Czas inkubacji maleje wraz ze wzrostem masy ciała ptaka
Komentarz: To jest nieprawda, bo czas inkubacji zawsze wzrasta wraz ze wzrostem masy ciała ptaka, a nie maleje.
Zadanie 10. (1pkt) Aby przygotować suchą zaprawę do tynkowania ścian, należy zmieszać piasek, wapno i cement odpowiednio w stosunku \(15:4:1\). W którym wierszu tabeli podane są właściwe ilości składników potrzebnych do otrzymania \(140kg\) takiej zaprawy?
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu musimy się wykazać sprytem. W zasadzie jest wiele dróg dojścia do prawidłowej odpowiedzi, ale my skupimy się na prostej obserwacji. Po pierwsze, mamy otrzymać \(140kg\) zaprawy, zatem suma wszystkich składników powinna być równa \(140kg\). Tak się składa, że tylko w II i III wierszu suma składników daje wynik równy \(140kg\), więc moglibyśmy ograniczyć się już tylko do tych dwóch odpowiedzi. Po drugie z treści zadania wynika, że np. piasku ma być \(15\) razy więcej niż cementu (stosunek \(15:1\)), albo że wapna ma być \(4\) razy więcej niż cementu (stosunek 4:1\)). Jeżeli ograniczamy się już tylko do tych dwóch wierszy które nam zostały (II i III) to widzimy wyraźnie, że to w trzecim wierszu mamy \(15\) razy więcej piasku (\(105kg\)) niż cementu (\(7kg\)) oraz mamy tu \(4\) razy więcej wapna (\(28kg\)) niż cementu (\(7kg\)). Prawidłowe proporcje znalazły się więc w trzecim wierszu.
Zadanie 17. (3pkt) Karat jubilerski to jednostka masy kamieni szlachetnych. Termin ten pochodzi od greckiego słowa keration, oznaczającego śródziemnomorską roślinę, która po polsku nazywa się szarańczyn. Jest to drzewo z rodziny motylkowatych o liściach złożonych, parzystopierzastych (o parzystej liczbie listków). Nasiona z jego dojrzałych strąków - drobne, twarde, o bardzo wyrównanej (\(197\) miligramów) masie - stosowane były jako odważniki. Współcześnie do podawania masy kamieni szlachetnych i pereł służy karat metryczny \((ct)\) równy \(0,2g\). Największy z dotychczas znalezionych diamentów (noszący nazwę Cullinan) miał masę \(3106ct\). Wykonano z niego \(105\) brylantów, tracąc przy obróbce aż \(65\%\) pierwotnej masy kamienia.
Ile karatów mają łącznie brylanty wykonane z Cullinana?
Odpowiedź
Brylanty mają łącznie \(1087,1ct\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ilości odpadków.
Ogólnie choć treść zadania jest dość długa to interesuje nas jedna informacja - z diamentów robimy brylanty, tracąc jednak przy tym trochę masy kamienia. W przypadku diamentu Cullinan wiemy że miał on masę \(3106ct\) i podczas obróbki na brylanty stracił on \(65\%\) swojej masy, czyli stracił:
$$0,65\cdot3106ct=2018,9ct$$
Krok 2. Obliczenie karatów brylantów.
Skoro diament miał \(3106ct\) i stracił podczas obróbki \(2018,9ct\), to otrzymane z niego brylanty mają łącznie:
$$3106ct-2018,9ct=1087,1ct$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość odpadków (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale użyjesz błędnej jednostki (np. gramy zamiast karatów).
ALBO
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale zastosujesz przybliżenie liczby bez podania wartości po przecinku.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 18. (1pkt) Do zespołu szkół, który składa się ze szkoły podstawowej i gimnazjum, uczęszcza \(900\) uczniów. Chłopcy stanowią \(40\%\) uczniów zespołu. \(30\%\) uczniów zespołu uczy się w gimnazjum, natomiast \(40\%\) uczniów gimnazjum to dziewczęta. Ile razy więcej dziewcząt niż chłopców uczy się w tym zespole szkół?
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby chłopców chodzących do zespołu szkół.
Z treści zadania wynika, że chłopcy stanowią \(40\%\) uczniów zespołu, zatem chłopców jest łącznie:
$$0,4\cdot900=360$$
Krok 2. Obliczenie liczby dziewczyn chodzących do zespołu szkół.
Skoro chłopcy stanowią \(40\%\) uczniów, to dziewczyny stanowią \(60\%\), zatem dziewczyn jest łącznie:
$$0,6\cdot900=540$$
Krok 3. Obliczenie ile razy więcej jest dziewcząt niż chłopców.
Skoro dziewczyn jest \(540\), a chłopców jest \(360\), to dziewczyn jest \(\frac{540}{360}=1,5\) razy więcej.
Zadanie 20. (2pkt) Pewna firma telekomunikacyjna proponuje użytkownikom telefonów komórkowych cztery taryfy: \(A, B, C, D\). Miesięczny rachunek telefoniczny jest sumą kwoty abonamentu i kosztu rozmów według podanych w tabeli stawek.

Pan Kowalski wybrał taryfę \(C\). W marcu otrzymał w promocji \(120\) bezpłatnych minut. Jaka jest wysokość miesięcznego rachunku telefonicznego, jeśli łączny czas połączeń wykonanych przez pana Kowalskiego w marcu wyniósł \(300\) minut?
Odpowiedź
Pan Kowalski musi zapłacić \(188zł\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie kosztu dodatkowych minut.
Pan Kowalski wydzwonił \(300\) minut, ale \(120\) minut miał bezpłatnych, zatem będzie on musiał zapłacić tylko za \(300-120=180\) minut. Skoro koszt jednej minuty w taryfie \(C\) to \(0,6zł\), to za nadliczbowe minuty Pan Kowalski zapłaci:
$$180\cdot0,6zł=108zł$$
Krok 2. Obliczenie wysokości całego rachunku.
Na cały rachunek składa się wysokość abonamentu oraz opłaty za dodatkowe minuty, czyli ostatecznie za marzec Pan Kowalski musi zapłacić:
$$80zł+108zł=188zł$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczając wysokość całego rachunku otrzymasz błędny wynik, popełniając błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 21. (2pkt) Pewna firma telekomunikacyjna proponuje użytkownikom telefonów komórkowych cztery taryfy: \(A, B, C, D\). Miesięczny rachunek telefoniczny jest sumą kwoty abonamentu i kosztu rozmów według podanych w tabeli stawek.

Która z taryf: \(C\) czy \(D\) jest korzystniejsza, jeżeli miesięczny czas połączeń jest nie mniejszy niż \(200\) minut?
Odpowiedź
Korzystniejsza jest taryfa D.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wysokości rachunku dla czasu połączeń równego \(200\) minut.
W takich zadaniach dobrze jest sprawdzić co się dzieje dla wartości granicznych. Choć my ostatecznie musimy stwierdzić która taryfa jest korzystniejsza w przypadku czasu połączeń większego od \(200\), to sprawdźmy jak wyglądają rachunki kiedy jest to dokładnie \(200\) minut.
Taryfa C: \(80zł+0,6zł\cdot200=80zł+120zł=200zł\)
Taryfa D: \(120zł+0,4zł\cdot200=120zł+80zł=200zł\)
Okazuje się, że dla \(200\) minut rachunki w obydwu taryfach są identyczne.
Krok 2. Obliczenie wysokości rachunku dla czasu połączeń równego \(201\) minut.
Teraz sprawdźmy to co jest sednem tego zadania, czyli która taryfa jest korzystniejsza dla czasu połączeń większego niż \(200\) minut, czyli np. obliczmy rachunki dla czasu \(201\) minut:
Taryfa C: \(80zł+0,6zł\cdot201=80zł+120,6zł=200,6zł\)
Taryfa D: \(120zł+0,4zł\cdot201=120zł+80,4zł=200,4zł\)
Widzimy, że korzystniejsza staje się oferta \(D\) i tak będzie z każdą kolejną minutą ponad \(200\), bo opłata za jedną minutę w tej taryfie jest po prostu niższa niż w taryfie \(C\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość rachunków dla \(200\) minut.
ALBO
• Gdy obliczysz wartość rachunków dla więcej niż \(200\) minut, ale nie wskażesz która taryfa jest korzystniejsza, czyli w której rachunek jest niższy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (2pkt) Pewna firma telekomunikacyjna proponuje użytkownikom telefonów komórkowych cztery taryfy: \(A, B, C, D\). Miesięczny rachunek telefoniczny jest sumą kwoty abonamentu i kosztu rozmów według podanych w tabeli stawek.

Ile pełnych minut połączeń można maksymalnie wykonać w ciągu miesiąca, aby rachunek telefoniczny w taryfie \(A\) był niższy niż w taryfie \(B\)?
Odpowiedź
Maksymalnie można wykonać \(57\) minut połączeń.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Niech \(x\) to będzie ilość wydzwonionych minut. Zobaczmy ile musimy zapłacić za \(x\) minut w taryfie \(A\) oraz \(B\):
Cena za rachunek w taryfie A: \(20+1,1x\)
Cena za rachunek w taryfie B: \(40+0,75x\)
Krok 2. Ustalenie do ilu minut połączeń taryfa \(A\) jest korzystniejsza.
Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do ilu minut taryfa \(A\) będzie korzystniejsza niż taryfa \(B\). Musimy więc sprawdzić dla jakiego \(x\) zajdzie nierówność:
$$20+1,1x\lt40+0,75x \\
0,35x\lt20 \\
x\lt57,14$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam \(x\lt57,14\). To oznacza, że maksymalnie możemy wykonać \(57\) pełnych minut połączeń, aby rachunek telefoniczny w taryfie \(A\) był niższy niż w taryfie \(B\). Z każdą kolejną minutą to taryfa \(B\) stanie się korzystniejsza.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ustalisz do ilu minut połączeń taryfa \(A\) jest korzystniejsza (Krok 2.), ale nie przeprowadzisz interpretacji otrzymanego wyniku.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (1pkt) Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek z tworzywa sztucznego przez \(4\) godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością.
Oceń prawdziwość podanych zdań.
Przez \(8\) godzin taką samą partię butelek wykonają \(3\) takie maszyny.
Połowę partii takich butelek \(6\) maszyn wykona przez \(2\) godziny.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Załóżmy, że w jedna maszyna w ciągu godziny produkuje \(x\) butelek.
W ciągu \(4\) godzin ta maszyna wyprodukuje \(4x\) butelek, a skoro działa \(6\) takich maszyn, to wyprodukują one łącznie \(6\cdot4x=24x\) butelek.
W proponowanym \(8\)-godzinnym wariancie każda maszyna wyprodukuje przez \(8\) godzin \(8x\) butelek, a skoro pracują \(3\) takie maszyny to łącznie wyprodukują one \(3\cdot8x=24x\) butelek.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. \(6\) maszyn wyprodukuje \(6x\) butelek w ciągu godziny, czyli \(12x\) butelek w ciągu dwóch godzin. To dokładnie połowa partii z treści zadania, bo \(24x:2=12x\).
Zadanie 27. (3pkt) Cena godziny korzystania z basenu wynosi \(12zł\). Można jednak kupić miesięczną kartę rabatową za \(50\) złotych, upoważniającą do obniżki cen, i wtedy za pierwsze \(10\) godzin pływania płaci się \(8\) złotych za godzinę, a za każdą następną godzinę - \(9\) złotych. Wojtek kupił kartę rabatową i korzystał z basenu przez \(16\) godzin. Czy zakup karty był dla Wojtka opłacalny?
Odpowiedź
Zakup karty rabatowej przez Wojtka jest opłacalny.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie kosztu korzystania z basenu bez karty rabatowej.
Bez posiadania karty rabatowej za korzystanie z basenu przez \(16\) godzin zapłacilibyśmy:
$$16\cdot12zł=192zł$$
Krok 2. Obliczenie kosztu korzystania z basenu z kartą rabatową.
Jeżeli zapłacimy \(50zł\) za kartę, to możemy korzystać przez \(10\) godzin z basenu za \(8zł\) za godzinę, a za pozostałe \(6\) godzin zapłacimy \(9\) złotych za godzinę. Łączy koszt będzie więc równy:
$$50+10\cdot8zł+6\cdot9zł=80+54=184zł$$
Wyszło nam z tych obliczeń, że z kartą Wojtek zapłacił \(8zł\) mniej niż zapłaciłby bez karty, a to oznacza, że zakup karty rabatowej jest dla Wojtka opłacalny.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu bez karty rabatowej (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie koszt korzystania z basenu z kartą rabatową (Krok 2.) (może być nawet bez uwzględnienia zakupu samej karty).
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt korzystania z basenu w obydwu wariantach, ale nie zapiszesz wniosku końcowego, że karta jest opłacalna.
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość oszczędności bez uwzględnienia tego, że sama karta kosztuje \(50zł\), czyli zapiszesz że Wojtek zaoszczędził \(58zł\), a nie \(8zł\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (1pkt) Grupa turystów w ciągu pierwszej godziny marszu pokonała pewien odcinek trasy. W każdej następnej godzinie pokonywany dystans był o \(0,5km\) krótszy od dystansu pokonanego w poprzedniej godzinie. W ciągu pierwszych pięciu godzin marszu turyści przeszli łącznie \(17,5km\) trasy. Odcinek trasy, który turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu, miał długość:
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$
Zadanie 33. (1pkt) Zasolenie morza określa się jako ilość gramów soli rozpuszczonych w jednym kilogramie wody morskiej i podaje w promilach \((‰)\). Przeciętnie w jednym kilogramie wody morskiej znajduje się \(34,5g\) różnych rozpuszczonych w niej soli (czyli przeciętne zasolenie wody morskiej jest równe \(34,5‰\). Zasolenie Bałtyku (średnio \(7,8‰\)) jest znacznie mniejsze od zasolenia oceanów, co tłumaczy się wielkością zlewiska (duży dopływ wód rzecznych), warunkami klimatycznymi (małe parowanie) oraz utrudnioną wymianą wód z oceanem. Jedna tona średnio zasolonej wody z Morza Bałtyckiego zawiera około:
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie ile soli znajduje się w jednym kilogramie wody morskiej.
Jeżeli zasolenie wody morskiej równe \(34,5‰\) oznacza \(34,5g\) soli w kilogramie wody to znaczy, że zasolenie Bałtyku równe \(7,8‰\) oznacza \(7,8g\) soli na kilogram.
Krok 2. Ustalenie ile gramów soli znajduje się w jednej tonie wody.
Jedna tona to \(1000kg\).
Skoro zasolenie Bałtyku jest równe \(7,8g\) soli na kilogram, to w jednej tonie wody znajdzie się:
$$7,8g\cdot1000=7800g=7,8kg$$
Super zadania. Polecam :)