Obliczenia praktyczne – zadania (egzamin ósmoklasisty)

B

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy.
Rowerzysta pokonywał trasę od godziny \(10:45\) aż do godziny \(14:05\), czyli zajęło mu to \(3\) godziny i \(20\) minut. Skoro godzina trwa \(60\) minut, to możemy zapisać, że czas jazdy trwał \(3\frac{1}{3}h\).

Krok 2. Obliczenie pokonanego dystansu.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\), który po przekształceniu możemy zapisać jako \(s=v\cdot t\). Podstawiając do tego wzoru dane \(v=15\frac{km}{h}\) oraz \(t=3\frac{1}{3}h\), otrzymamy:
$$s=15\frac{km}{h}\cdot3\frac{1}{3}h \\
s=50km$$

A

Krok 1. Zamiana minut na sekundu.
Kluczem do sukcesu jest tak naprawdę pamiętanie o ujednoliceniu jednostek. Jeżeli mamy podać wynik w \(m/s\), to dobrze jest już na samym początku przeliczyć na sekundy czas \(10\) minut.
$$10min.=600s$$

Krok 2. Obliczenie długości trasy.
Wiemy już, że \(t=600s\) oraz \(s=1200m\). Musimy teraz obliczyć prędkość, co zrobimy wykorzystując klasyczny wzór:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{1200m}{600s} \\
v=2m/s$$

C

Możemy bez problemów obliczyć prędkość jazdy Pawła w dość nietypowej jednostce \(\frac{min.}{s}\), ale niestety w odpowiedziach mamy podane same jednostki w \(\frac{km}{h}\). Możemy więc albo zamienić podane miary na kilometry (\(700m=0,7km\)) oraz na godziny (\(2min=\frac{1}{30}h\)), albo możemy skorzystać z prostej proporcji:

Skoro w \(2\) minuty pokonujemy \(0,7km\)
To w \(60\) minut (czyli w godzinę) pokonamy \(30\cdot0,7km=21km\)

To oznacza, że prędkość jazdy Pawła wyniosła \(21\frac{km}{h}\).

C

Krok 1. Obliczenie długości trasy.
Trasa od górnej stacji do punktu \(K\) ma długość:
$$750m+120m=870m$$

Krok 2. Obliczenie czasu pokonywania trasy.
Wiemy, że kolejka przebywa \(150\) metrów w ciągu minuty (czyli \(60\) sekund). Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(150m\) pokonujemy w \(60\) sekund
To \(30m\) pokonujemy w \(12\) sekund
Więc \(870m\) pokonujemy w \(348\) sekund

\(348\) sekund = \(5\) minut i \(48\) sekund

A

Krok 1. Ustalenie wartości licznika.
Musimy ustalić jaka jest wartość naszego licznika. Nie mamy specjalnych wzorów na dodawanie potęg (odpowiednie wzory są jedynie na mnożenie i dzielenie potęg, kiedy to dodajemy lub odejmujemy wykładniki), ale widzimy że dodawana jest trzykrotnie ta sama wartość, czyli \(3^2\). Zawartość licznika możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$3^2+3^2+3^2=3\cdot3^2=3^1\cdot3^2=3^{1+2}=3^3$$

Krok 2. Obliczenie wartości całej liczby.
Skoro w liczniku mamy \(3^3\) oraz w mianowniku mamy także \(3^3\), to powstał nam ułamek, którego wartość jest równa \(1\):
$$\frac{3^3}{3^3}=1$$

Jedynkę osiągniemy podnosząc dowolną liczbę do potęgi zerowej, zatem prawidłowa będzie odpowiedź pierwsza.

Prędkość jazdy w drodze powrotnej była większa o \(12\frac{km}{h}\).

Krok 1. Obliczenie średniej prędkości jazdy.
Pan Kazimierz przejechał trasę \(90km\) w czasie \(1,5h\), zatem jego średnia prędkość jazdy wyniosła:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,5h} \\
v=60\frac{km}{h}$$

Krok 2. Obliczenie średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej.
W drodze powrotnej Pan Kazimierz pokonał trasę o \(15\) minut szybciej. Skoro początkowo przejechał trasę w \(1,5h\) (czyli \(90\) minut), to w drodze powrotnej przejechał ten dystans w \(90-15=75\) minut. Musimy jeszcze te minuty zamienić na godziny, a więc możemy zapisać, że \(75\) minut to \(1,25h\). Długość trasy się nie zmieniła, nadal \(s=90km\), zatem możemy już przystąpić do liczenia średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,25h} \\
v=72\frac{km}{h}$$

Krok 3. Obliczenie o ile wzrosła średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej.
Skoro na początku średnia prędkość wyniosła \(60\frac{km}{h}\), a w drodze powrotnej było to już \(72\frac{km}{h}\), to średnia prędkość jazdy Pana Kazimierza wzrosła o:
$$72\frac{km}{h}-60\frac{km}{h}=12\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną stronę (patrz: Krok 1. lub Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną i drugą stronę (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.

Krok 1. Obliczenie długości drogi \(B\).
Zacznijmy od obliczenia długości drogi \(B\) (czyli tej po ukosie). Z racji tego, iż na rysunku mamy trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$600^2+800^2=c^2 \\
360000+640000=c^2 \\
c^2=1000000 \\
c=1000$$

Wyszło nam, że długość drogi \(B\) jest równa \(1000m\), czyli \(1km\). Zamiana metrów na kilometry jest bardzo ważna, ponieważ prędkość mamy wyrażoną w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania drogi \(A\).
Droga \(A\) ma długość \(800m+600m=1400m=1,4km\). Wiemy, że Ula porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\), zatem korzystając ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz dane \(s=1,4km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), otrzymamy:
$$t=\frac{1,4km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,35h$$

Krok 3. Obliczenie czasu pokonania drogi \(B\).
Analogicznie obliczymy czas pokonania drogi \(B\). Tutaj \(s=1km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), zatem:
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{1km}{4\frac{km}{h}} \\
t=0,25h$$

Krok 4. Obliczenie różnicy czasu.
Skoro drogę \(A\) pokonujemy w czasie \(0,35h\), a drogę \(B\) w czasie \(0,25h\), to różnica czasu wyniesie:
$$0,35h-0,25h=0,1h$$

Proszą nas o podanie tego czasu w minutach, a skoro jedna godzina to \(60\) minut, to:
$$0,1\cdot60min.=6min.$$

To oznacza, że Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz czas przejścia drogą \(A\) (patrz: Krok 2.) oraz czas przejścia drogą \(B\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Interpretacja danych z treści zadania.
Na początku musimy sobie dobrze przeanalizować to zadanie i ustalić chociażby to ile kilometrów pokona każdy z rowerzystów. Skoro Marta i Jacek spotkali się w połowie drogi od swoich miejsc zamieszkania, które są oddalone o \(8km\), to zarówno Marta jak i Jacek przejechali \(4km\).
Zanim przejdziemy do obliczeń, to spróbujmy też ustalić o której godzinie mógłby wyjechać Jacek - czy to będzie przed godziną 14:00, czy też po? Skoro Jacek jechał szybciej, to i czas jazdy miał mniejszy, bo szybciej pokonał swój dystans. Skoro tak, to na pewno wyjechał później, czyli po 14:00. Ta prosta analiza już na wstępie pozwala nam ograniczyć się do dwóch ostatnich odpowiedzi.

Krok 2. Obliczenie czasu jazdy Marty.
Marta jechała z prędkością \(v=16 km/h\), zatem dystans \(s=4km\) pokonała w czasie:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{16km/h} \\
t=\frac{1}{4}h=15min$$

Krok 3. Obliczenie czasu jazdy Jacka.
$$t=\frac{s}{v} \\
t=\frac{4km}{20km/h} \\
t=\frac{1}{5}h=12min$$

Krok 4. Ustalenie czasu wyjazdy Jacka.
Z obliczeń w kroku drugim i trzecim wynika, że Jacek jechał \(3\) minuty szybciej. Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie zapisaliśmy w pierwszym kroku - wyjedzie on \(3\) minuty po Marcie, czyli o godzinie 14:03.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą. Szukamy na wykresie sytuacji w której mamy prostą linię poziomą (wtedy Mateusz stoi w miejscu, czyli stoi na przystanku). Widzimy wyraźnie, że linia wykresu staje prosta na wysokości dwóch kratek, a skoro pięć kratek oznacza odległość 1km, to dwie kratki stanowią właśnie \(\frac{2}{5}\cdot1km=400m\).


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Przystanek znajduje się \(400m\) od domu Mateusza. Szkoła znajduje się w odległości \(4km\). Czyli autobus pokonał trasę:
$$4km-0,4km=3,6km$$

Autobus ruszył w 22 minucie naszego wykresu, a na metę dotarł w \(26\) minucie, czyli cała podróż trwała \(4\) minuty. Jeżeli \(4min=\frac{1}{15}h\), to autobus jechał z prędkością:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{3,6km}{\frac{1}{15}h} \\
v=54\frac{km}{h}$$

Zdanie jest więc prawdą.

A

W tym zadaniu wykorzystamy prostą proporcję:
Skoro za \(1500zł\) można kupić \(120\) paczek
To za \(300zł\) można kupić \(24\) paczki
Więc za \(600zł\) można kupić \(48\) paczek

Janek kupił \(2\) bilety ulgowe i \(10\) biletów normalnych.

Krok 1. Obliczenie ceny biletu ulgowego.
Skoro cena biletu ulgowego stanowi \(\frac{5}{9}\) ceny biletu normalnego, to bilet ulgowy kosztuje:
$$\frac{5}{9}\cdot45zł=25zł$$

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba zakupionych biletów ulgowych
\(5x\) - liczba zakupionych biletów normalnych

Skoro bilet ulgowy kosztuje \(25zł\), a normalny \(45zł\), to możemy zapisać, że:
\(25\cdot x\) - tyle złotych zapłacono za bilety ulgowe
\(45\cdot5x=225x\) - tyle złotych zapłacono za bilety normalne

Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że za wszystkie bilety zapłacono \(500zł\), a skoro tak, to powstanie nam do rozwiązania następujące równanie:
$$25x+225x=500 \\
250x=500 \\
x=2$$

Krok 4. Ustalenie liczby biletów ulgowych i normalnych.
Otrzymaliśmy wynik \(x=2\). Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wiemy już zatem, że biletów ulgowych kupiono dwie sztuki. Musimy jeszcze ustalić, ile było biletów normalnych. Tych jest pięć razy więcej niż ulgowych, czyli będzie ich \(5\cdot2=10\).

Każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).

Krok 1. Ułożenie równań do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech przejechali trasę o jednakowej długości. Oznaczmy więc sobie liczbę pokonanych kilometrów jako niewiadomą \(x\).

Teraz naszym zadaniem jest ułożenie odpowiednich równań. Zacznijmy od Pana Jana i taksówki "Jedynka". Opłata początkowa jest równa \(3,2zł\), a do tego za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(3,2zł\). Skoro więc Pan Jan przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$3,2+3,2\cdot x$$

Podobnie możemy rozpatrzeć jazdę Pana Wojciecha w taksówce "Dwójka". Tutaj opłata początkowa jest równa \(8zł\), a za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(2,4zł\). Skoro więc Pan Wojciech przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$8+2,4\cdot x$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech zapłacili za swój kurs jednakową kwotę. To oznacza, że między wyrażeniem \(3,2+3,2\cdot x\) oraz \(8+2,4\cdot x\) możemy postawić znak równości. Skoro tak, to:
$$3,2+3,2\cdot x=8+2,4\cdot x \quad\bigg/-3,2 \\
3,2x=4,8+2,4x \quad\bigg/-2,4x \\
0,8x=4,8 \\
x=6$$

To oznacza, że każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy metodą "prób i błędów" obliczysz koszt przejazdu taksówkami jednej i drugiej firmy dla przynajmniej dwóch różnych długości.
LUB
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Możemy ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(30dag\) orzechów kosztuje \(15,75zł\)
To \(10dag\) orzechów kosztuje \(5,25zł\)
Więc \(40dag\) orzechów kosztuje \(21zł\)

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Możemy ułożyć prostą proporcję, pamiętając o tym że \(1kg=100dag\):
Skoro 30dag\) orzechów kosztuje \(15,75zł\)
To \(10dag\) orzechów kosztuje \(5,25zł\)
Więc \(100dag\;(1kg)\) kosztuje \(52,50zł\)

Zdanie jest więc prawdą.

B, C

Krok 1. Obliczenie ceny biletu normalnego i ulgowego.
Musimy ułożyć odpowiednie równanie, które pozwoli nam obliczyć cenę każdego biletu. Wprowadźmy sobie zatem proste oznaczenia:
\(x\) - cena biletu normalnego
\(0,5x\) - cena biletu ulgowego

Wiemy, że Pani Anna kupiła \(3\) bilety normalne i \(2\) ulgowe i zapłaciła \(120zł\), czyli powstaje nam równanie:
$$3x+2\cdot0,5x=120zł \\
3x+x=120zł \\
4x=120zł \\
x=30zł$$

Bilet normalny kosztuje więc \(30zł\), a ulgowy kosztuje \(0,5\cdot30zł=15zł\).

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Pan Jacek kupił \(2\) bilety normalne oraz \(3\) ulgowe, czyli zapłacił:
$$2\cdot30zł+3\cdot15zł=60zł+45zł=105zł$$

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Pan Marek kupił \(2\) bilety normalne oraz \(1\) ulgowy, czyli zapłacił:
$$2\cdot30zł+15zł=75zł$$

Pani Anna wydała na bilety \(120zł\), czyli zapłaciła \(120zł-75zł=45zł\) więcej od Pana Marka.

Marcin otrzyma \(480\) dolarów.

Krok 1. Interpretacja tabeli kursów walut.
Największą pułapką w tym zadaniu jest zrozumienie tabeli kursów walut. Kolumna "kupno" pokazuje po jakiej cenie kantor kupuje waluty od swoich klientów. Kolumna "sprzedaż" pokazuje po jakiej cenie kantor sprzedaje waluty. Bardzo często jest tak, że mylnie interpretujemy tę tabelę i patrzymy na nią z perspektywy klienta, ale byłoby to nielogiczne gdybyśmy w tym samym kantorze mogli kupić dolara za \(4,18zł\) i sprzedać go za \(4,25zł\).

Krok 2. Obliczenie ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów.
Kantor kupuje funta po kursie \(5,10zł\). Skoro Marcin ma \(400\) funtów, to kantor zapłaci mu:
$$400\cdot5,10zł=2040zł$$

Krok 3. Obliczenie ile dolarów otrzyma Marcin za \(2040zł\).
Kantor sprzedaje dolary po kursie \(4,25zł\). Skoro Marcin ma \(2040zł\), to kantor wyda mu:
$$2040zł:4,25zł=480$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ile złotych zapłaci kantor za \(400\) funtów (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz ile dolarów otrzyma Marcin za \(1\) funt brytyjski (\(1,2\) dolara za \(1\) funta).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Za herbatę w torebkach trzeba zapłacić \(68zł\), a za herbatę sypaną \(75zł\).

Krok 1. Obliczenie kosztu picia herbaty w torebkach.
Skoro rodzina wypija \(12\) torebek dziennie, to w ciągu miesiąca wypije:
$$12\cdot30=360\text{ torebek}$$

Herbata pakowana jest w opakowaniu po \(50\) torebek, więc tych opakowań potrzebujemy:
$$360:50=7,2$$

To oznacza, że \(7\) opakowań nam nie wystarczy, musimy zatem kupić \(8\) opakowań, bo zgodnie z treścią zadania interesuje nas możliwie jak najmniejsza liczba opakowań herbaty, tak aby starczyło jej na \(30\) dni.

Skoro tak, to za herbatę w torebkach zapłacimy:
$$8\cdot8,5zł=68zł$$

Krok 2. Obliczenie kosztu picia herbaty sypanej.
Chcemy przyrządzać \(12\) herbat dziennie, czyli miesięcznie będzie to:
$$30\cdot12=360\text{ herbat}$$

Każdy napar potrzebuje \(2g\) liści herbaty, czyli potrzebujemy:
$$360\cdot2g=720g$$

Herbata sypka sprzedawana jest w opakowaniach po \(50g\), czyli takich opakowań potrzebujemy:
$$720g:50g=14,4$$

To oznacza, że tak naprawdę potrzebujemy \(15\) opakowań (bo \(14\) to za mało). Skoro każde opakowanie kosztuje \(5zł\), to za całość zapłacimy:
$$15\cdot5zł=75zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zaczniesz liczyć koszt zakupu herbaty w torebkach lub sypkiej, ale popełnisz błąd rachunkowy i otrzymasz błędne wyniki.
2 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie koszt zakupu jednego rodzaju herbaty - torebkach lub sypkiej (Krok 1. lub Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwane wyniki.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Najlepiej jest to zadanie zrobić cofając się tydzień po tygodniu:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 24 sierpnia to czwartek
17 sierpnia to czwartek
Zatem 18 sierpnia to piątek

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
To zadanie jest najlepiej zrobić w ten sposób:
Skoro 31 sierpnia to czwartek
To 1 września to piątek
Zatem 8, 15, 22, 29 września to także piątek
30 września to sobota
1 października to niedziela
2 października to poniedziałek

Zdanie jest więc prawdą.

\(462\) poduszki

Krok 1. Ustalenie ile jest dni roboczych w marcu.
Marzec ma \(31\) dni. Skoro 1 marca wypadł w niedzielę, to dni wolnych od pracy (sobota oraz niedziela) mamy:
1 marca (niedziela)
7 marca (sobota) oraz 8 marca (niedziela)
14 marca (sobota) oraz 15 marca (niedziela)
21 marca (sobota) oraz 22 marca (niedziela)
28 marca (sobota) oraz 29 marca (niedziela)

Wyszło nam, że w marcu mamy \(9\) dni wolnych od pracy, zatem dni roboczych mamy:
$$31-9=22$$

Krok 2. Obliczenie liczby godzin pracujących.
Mamy \(22\) dni robocze, a w każdym dniu krawcowe pracują po \(7\) godzin dziennie, zatem wszystkich godzin pracujących będzie:
$$22\cdot7=154$$

Krok 3. Obliczenie liczby uszytych poduszek.
W ciągu godziny krawcowe szyją średnio \(3\) poduszki, zatem wszystkich uszytych poduszek będziemy mieć:
$$154\cdot3=462$$

A

Krok 1. Wskazanie poprawnej godziny.
Sprawdźmy na początku którą to godzinę powinien wskazywać zegarek, gdyby się nie spóźniał. Skoro kwadrans to \(15\) minut, to trzy kwadranse to \(45\) minut. Po upływie dwóch godzin i trzech kwadransów od godziny 09:00 zegar powinien więc wskazywać godzinę 11:45.

Krok 2. Ustalenie wielkości spóźnienia.
W ciągu godziny zegarek spóźnia się o \(4\) minuty. Korzystając z proporcji możemy powiedzieć, że skoro kwadrans to \(\frac{1}{4}\) godziny, to w ciągu kwadransa zegarek spóźnia się dokładnie o minutę.

To oznacza, że:
W ciągu dwóch godzin zegarek spóźni się o \(8\) minut.
W ciągu trzech kwadransów zegarek spóźni się o \(3\) minuty.
W ciągu dwóch godzin i trzech kwadransów zegarek spóźni się o \(8+3=11\) minut.

Krok 3. Ustalenie wskazania zegarka.
Musimy ustalić co to znaczy, że zegarek się spóźnia. Skoro zegarek się spóźnia, to powinien wskazywać godzinę wcześniejszą niż 11:45. My wiemy, że zegarek jest spóźniony o łącznie \(11\) minut, więc wskaże nam godzinę 11:34.

C

Krok 1. Obliczenie długości trwania zajęć.
Zajęcia trwały od \(17:45\) do \(19:05\), a więc trwały one \(1\) godzinę i \(20\) minut, czyli \(80\) minut.

Krok 2. Obliczenie długości trwania jednej części.
Wiemy, że przerwa stanowiła \(10\) minut z tych \(80\). To oznacza, że obydwie części zajęć (bez przerwy) trwały łącznie \(80-10=70\) minut. Każda część trwała tyle samo minut, więc pojedyncza część trwała \(70:2=35\) minut.

Krok 3. Obliczenie, kiedy zaczęła się druga część.
Zajęcia rozpoczęły się o godzinie \(17:45\). Pierwsza część trwała \(35\) minut, więc trwała do godziny \(18:20\). Nie jest to jednak jeszcze czas rozpoczęcia drugiej części, bo mieliśmy \(10\) minut przerwy, zatem druga część rozpoczęła się o godzinie \(18:30\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy w każdym z połączeń.
Aby ocenić prawdziwość każdego ze zdań musimy obliczyć czas jazdy dla każdego połączenia:
I połączenie: \(4godz. 55min.\)
II połączenie: \(2godz. 40min.\)
III połączenie: \(3godz. 48min.\)
IV połączenie: \(2godz. 17min.\)

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zgodnie z obliczeniami z poprzedniego kroku widzimy, że najkrótsze jest IV połączenie i faktycznie bilet kosztuje tutaj \(49zł\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z tym co obliczyliśmy w pierwszym kroku możemy stwierdzić, że faktycznie tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż \(4\) godziny.

Wojtek zapłacił \(216zł\).

Krok 1. Ustalenie liczby dni z bezpłatnymi wyjściami na basen.
Marzec ma \(31\) dni. Skoro co czwarty dzień Wojtek pływał za darmo, to takich bezpłatnych wyjść na basen miał dokładnie \(7\):
4 marca
8 marca
12 marca
16 marca
20 marca
24 marca
28 marca

Krok 2. Ustalenie liczby płatnych wyjść na basen.
Wojtek był na basenie \(31\) razy, z czego \(7\) wejść miał bezpłatnych. To oznacza, że płatnych wejść miał:
$$31-7=24$$

Krok 3. Obliczenie wydatków.
Skoro każde płatne wejście kosztuje \(9zł\), a Wojtek miał takich wejść \(24\), to przez cały marzec zapłacił za nie:
$$24\cdot9zł=216zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę płatnych wejść na basen (Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz ile dni Wojtek wchodził na basen za darmo i jaką miał w związku z tym oszczędność (\(7\cdot9zł=63zł\)).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

D

Aby dowiedzieć się którą dyscyplinę uprawiał ten zawodnik musimy obliczyć godzinny wydatek energetyczny każdego ze sportów.

Siatkówka - skoro w \(120\) minut zużywamy \(700\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(700kcal:2=350kcal\).
Pływanie - tu mamy od razu podane, że w \(60\) minut zużyjemy \(600kcal\).
Aerobik - skoro w \(30\) minut zużywamy \(250\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(250kcal\cdot2=500kcal\).
Piłka nożna - skoro w \(90\) minut zużywamy \(1050\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(1050kcal\cdot\frac{60}{90}=700kcal\).
Kolarstwo - skoro w \(45\) minut zużywamy \(450\) kcal, to w \(60\) minut zużyjemy \(450kcal\cdot\frac{60}{45}=600kcal\).

Widzimy wyraźnie, że poszukiwanym sportem był aerobik.

Brylanty mają łącznie \(1087,1ct\).

Krok 1. Obliczenie ilości odpadków.
Ogólnie choć treść zadania jest dość długa to interesuje nas jedna informacja - z diamentów robimy brylanty, tracąc jednak przy tym trochę masy kamienia. W przypadku diamentu Cullinan wiemy że miał on masę \(3106ct\) i podczas obróbki na brylanty stracił on \(65\%\) swojej masy, czyli stracił:
$$0,65\cdot3106ct=2018,9ct$$

Krok 2. Obliczenie karatów brylantów.
Skoro diament miał \(3106ct\) i stracił podczas obróbki \(2018,9ct\), to otrzymane z niego brylanty mają łącznie:
$$3106ct-2018,9ct=1087,1ct$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość odpadków (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale użyjesz błędnej jednostki (np. gramy zamiast karatów).
ALBO
• Gdy obliczysz masę diamentu (Krok 2.), ale zastosujesz przybliżenie liczby bez podania wartości po przecinku.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

B

Krok 1. Obliczenie zużycia benzyny na dystansie \(150km\).
Z treści zadania wynika, że na pokonanie odcinka \(150km\) samochód zużył dwa razy mniej paliwa niż zużył na początku trasy. Skoro na początku zużył \(27\) litrów, to na dystansie \(150km\) zużył:
$$27l:2=13,5l$$

Krok 2. Obliczenie zużycia benzyny na każde \(100km\).
Możemy ułożyć bardzo prostą proporcję:
Skoro na \(150km\) zużyto \(13,5l\)
To na \(50km\) zużyto \(4,5l\)
Więc na \(100km\) zużyto \(9l\)

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest prawdą. Załóżmy, że w jedna maszyna w ciągu godziny produkuje \(x\) butelek.
W ciągu \(4\) godzin ta maszyna wyprodukuje \(4x\) butelek, a skoro działa \(6\) takich maszyn, to wyprodukują one łącznie \(6\cdot4x=24x\) butelek.
W proponowanym \(8\)-godzinnym wariancie każda maszyna wyprodukuje przez \(8\) godzin \(8x\) butelek, a skoro pracują \(3\) takie maszyny to łącznie wyprodukują one \(3\cdot8x=24x\) butelek.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest prawdą. \(6\) maszyn wyprodukuje \(6x\) butelek w ciągu godziny, czyli \(12x\) butelek w ciągu dwóch godzin. To dokładnie połowa partii z treści zadania, bo \(24x:2=12x\).

E

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - trasa pokonana w pierwszej godzinie
\(x-0,5\) - trasa pokonana w drugiej godzinie
\(x-1\) - trasa pokonana w trzeciej godzinie
\(x-1,5\) - trasa pokonana w czwartej godzinie
\(x-2\) - trasa pokonana w piątej godzinie

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Suma wszystkich tras pokonanych w poszczególnych godzinach ma być równa \(17,5km\), zatem:
$$x+(x-0,5)+(x-1)+(x-1,5)+(x-2)=17,5 \\
5x-5=17,5 \\
5x=22,5 \\
x=4,5$$

C

Jeżeli rozcieńczono sok w stosunku \(1:10\) to oznacza, że wody jest \(10\) razy więcej niż soku. Skoro mamy \(450ml\) soku, to znaczy że wody było \(10\cdot450ml=4,5l\).

Soku jest \(450ml\) (czyli \(0,45l\)), wody jest \(4,5l\), zatem napoju mamy:
$$0,45l+4,5l=4,95l$$

Otrzymaliśmy więc więcej niż \(4,5\) litra soku, ale mniej niż \(5\) litrów.

B

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(3x\) - liczba pierwszoklasistów
\(8x\) - liczba drugoklasistów
\(5x\) - liczba trzecioklasistów

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wiemy, że wszystkich uczestników ma być \(48\), zatem:
$$3x+8x+5x=48 \\
16x=48 \\
x=3$$

Krok 3. Wyznaczenie liczby pierwszoklasistów.
Zgodnie z oznaczeniami pierwszoklasistów jest \(3x\), zatem jest ich łącznie:
$$3\cdot3=9$$