Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).
Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).
Współczynniki: \(a=4,\;b=-8y,\;c=5y^2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8y)^2-4\cdot4\cdot5y^2=64y^2-80y^2=-16y^2$$
Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że „coś” podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0 \\
4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0 \\
(2x-2y)^2+y^2\ge0$$
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.
Udowodniono rozwiązując nierówność kwadratową i interpretując otrzymaną deltę.
