Pole powierzchni całkowitej walca

Pole powierzchni całkowitej walca możemy obliczyć korzystając z następującego wzoru:

Wzór na pole powierzchni całkowitej walca
$$P_{c}=2πr^2+2πrH$$

gdzie:
\(P_{c}\) – pole powierzchni całkowitej walca
\(r\) – promień podstawy walca
\(H\) – wysokość walca
pole powierzchni całkowitej walca

Bardzo często możemy też się spotkać z lekko przekształconą postacią tego wzoru:
$$P_{c}=2πr(r+H)$$

To co jest jeszcze dość ważne w temacie pola powierzchni to umiejętność oddzielnego obliczenia pola powierzchni bocznej. Wzór na pole powierzchni bocznej jest zaszyty we wzorze na pole powierzchni całkowitej.

Wzór na pole powierzchni bocznej walca
Pole powierzchni bocznej obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P_{b}=2πrH$$

gdzie:
\(P_{b}\) – pole powierzchni bocznej walca
\(r\) – promień podstawy walca
\(H\) – wysokość walca

Jak teraz dobrze przyjrzymy się tym wzorom to zauważymy, że pole powierzchni całkowitej to tak naprawdę suma pól dwóch podstaw (dolnej i górnej), które są kołami oraz pola powierzchni bocznej. Moglibyśmy więc zapisać, że \(P_{c}=2P_{p}+P_{b}\).

Znamy już wszystkie potrzebne wzory, więc zobaczmy ich wykorzystanie w praktyce.

Przykład 1. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca, wiedząc że promień podstawy ma długość \(r=4\), a wysokość ma długość \(H=7\).

Podstawiając znane nam dane do wzoru na pole powierzchni całkowitej walca otrzymamy:
$$P_{c}=2πr^2+2πrH \\
P_{c}=2π\cdot4^2+2π\cdot4\cdot7 \\
P_{c}=2π\cdot16+2π\cdot28 \\
P_{c}=32π+56π \\
P_{c}=88π$$

Przykład 2. Pewien walec ma wysokość \(H=5\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(P_{b}=60π\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej potrzebujemy znać długość promienia podstawy. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni bocznej możemy zapisać, że:
$$P_{b}=2πrH \\
60π=2πr\cdot5 \quad\bigg/:π \\
60=10r \\
r=6$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy już komplet danych do obliczenia pola powierzchni całkowitej, bowiem wiemy że \(r=6\) oraz że \(H=5\), zatem:
$$P_{c}=2πr^2+2πrH \\
P_{c}=2π\cdot6^2+2π\cdot6\cdot5 \\
P_{c}=2π\cdot36+60π \\
P_{c}=72π+60π \\
P_{c}=132π$$

Tak na marginesie to zwróć uwagę na to, że w tym ostatnim kroku obliczając nasze pole powierzchni całkowitej, mogliśmy pod \(2πrH\) od razu podstawić wartość \(60π\), bo takie jest przecież nasze pole powierzchni bocznej, które było podane w treści zadania.

Zobacz też: Objętość walca

Dodaj komentarz