Matura – Matematyka – Czerwiec 2019

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Przyglądając się tej nierówności dość kuszącą wydaje się opcja, by podzielić lewą i prawą stronę równania przez wartość \(7x+2\). To nie jest zły pomysł, ale trzeba być bardzo świadomym tego co liczymy. W nierównościach najbardziej problematyczny jest znak większości/mniejszości, który musimy odwrócić mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną. Nie możemy więc tak bezrefleksyjnie podzielić obu stron przez \(7x+2\) i zapisać, że w takim razie \(x\gt1\), bo jest to prawda tylko w sytuacji, gdy nasze \(7x+2\) jest liczbą dodatnią. Kiedy \(7x-2\) jest liczbą ujemną, to należałoby odwrócić znak.

Jeżeli więc nie potrafimy rozwiązywać nierówności w ten sposób, to najprościej i przede wszystkim najbezpieczniej będzie rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, czyli doprowadzając ją do postaci ogólnej i licząc deltę.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy wymnożyć iksa przez wartość w nawiasie oraz przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$x(7x+2)\gt7x+2 \\
7x^2+2x\gt7x+2 \\
7x^2-5x-2\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=7,\;b=-5,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot7\cdot(-2)=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot7}=\frac{5-9}{14}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot7}=\frac{5+9}{14}=\frac{14}{14}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{7}\right)\cup\left(1;+\infty\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz poprawne rozwiązania równania kwadratowego (patrz: Krok 3.), ale nie odrzucisz jednego wyniku ze względu na założenia.
ALBO
• Gdy przekształcisz równanie do postaci typu \(\frac{(x-3)(3x+1)}{x-3}=x-3\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x-3\neq0 \\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy:
$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3) \\
3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3) \\
3x^2-8x-3=x^2-6x+9 \\
2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2-x-6=0$$

(Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach).

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz kluczowe informacje, które wynikają z własności trójkątów lub kątów - czyli, że przykładowo kąty przy wierzchołku \(S\) mają jednakową miarę, że odcinek \(AS\) jest równy odcinkowi \(SB\), że kąty \(SAD\) oraz \(SBE\) mają jednakowe miary itd.
ALBO
• Gdy udowodnisz, że odcinek \(DS\) jest równy odcinkowi \(ES\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Stwórzmy sobie prosty rysunek na którym zaznaczymy to co nas interesuje, czyli odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\). Przypomnę, że odległość punktu od prostej to tak naprawdę odcinek, który jest prostopadły do wskazanej prostej.


Krok 2. Dostrzeżenie przystawania trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ADS\) oraz \(SBE\). Naszym zadaniem jest teraz udowodnić, że te trójkąty są trójkątami przystającymi (nie wystarczy by były podobne, muszą być przystające, czyli muszą mieć jednakowe miary poszczególnych boków). Jak udowodnimy, że są to trójkąty przystające, to będziemy mieć pewność że przyprostokątne tych trójkątów (czyli odcinki łączące punkty z prostą \(CS\) zaznaczone przerywaną zieloną linią) mają jednakowe miary.

Przeanalizujmy zatem te dwa trójkąty. Są to trójkąty prostokątne, czyli już na pewno wiemy, że mają jedną wspólną miarę kątów. Dodatkowo kąty przy wierzchołku \(S\), czyli \(ASD\) oraz \(ESB\) są kątami wierzchołkowymi, zatem te kąty także mają jednakową miarę.

Aby udowodnić, że te trójkąty są przystające (czyli jednakowe) to musimy jeszcze wykazać, że mają przynajmniej jedną parę boków równej długości (cecha kąt-bok-kąt). Skoro punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\), to znaczy że przeciwprostokątne \(AS\) oraz \(SB\) mają tą samą miarę, a to pozwala nam stwierdzić, że te trójkąty są na pewno przystające, a tym samym odcinki \(AD\) oraz \(EB\) są jednakowej miary.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \(a^2-2ab+b^2\ge0\) lub też do postaci \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez \(a\) oraz \(b\) nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).

Mnożąc to równanie przez \(a\) oraz \(b\) (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez \(a\), potem przez \(b\)) otrzymamy:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \quad\bigg/\cdot a \\
1+\frac{1\cdot a}{b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot b \\
b+a\ge\frac{4ab}{a+b} \\
a+b\ge\frac{4ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot(a+b) \\
(a+b)\cdot(a+b)\ge4ab \\
a^2+2ab+b^2\ge4ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz wartość drugiego wyrazu (patrz: Krok 1.) i konsekwentnie do tego błędu obliczysz resztę zadania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.
\(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\).
\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}=12 \\
2+a_{2}=12 \\
a_{2}=10$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.
Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{10}{2} \\
q=5$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$

Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^4 \\
a_{5}=2\cdot625 \\
a_{5}=1250$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro rzucamy trzykrotnie standardową kostką sześcienną to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=216\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są takie rzuty, których suma daje wynik równy \(16\). Wbrew pozorom nie jest dużo takich możliwości, bo maksymalnie z trzech rzutów możemy mieć \(18\) oczek. To oznacza, że aby wypadła suma równa \(16\), to albo na jednej kostce musi wypaść \(4\), a na reszcie \(6\), albo muszą wypaść dwie \(5\) oraz \(6\). Sprzyjającymi zdarzeniami będą więc:
$$(4,6,6); (6,4,6); (6,6,4); \\
(6,5,5); (5,6,5); (5,5,6). $$

Mamy więc sześć takich zdarzeń, zatem możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz długości prostokąta jako \(3x\) oraz \(4x\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz proste równanie typu \(a\cdot b=432\) lub \(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy stosownie do ułożonego równia obliczysz, że \(x=6\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\), korzystając z równań typu \(a\cdot b=432\) oraz \(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długości boków prostokąta (patrz: Krok 1.) oraz długość jego przekątnej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy całe zadanie rozwiążesz błędnie, bo źle zastosujesz funkcje trygonometryczne.
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy, że w podstawie ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek boków jest równy \(3:4\). Możemy więc powiedzieć, że krótszy bok tego prostokąta ma długość \(3x\), natomiast dłuższy ma długość \(4x\). Wiemy też, że pole tego prostokąta jest równe \(432\), a skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$3x\cdot4x=432 \\
12x^2=432 \\
x^2=36 \\
x=6$$

Wyszło nam, że \(x=6\), a skoro nasze krawędzie podstawy mają długość odpowiednio \(3x\) oraz \(4x\) to otrzymamy:
Krótsza krawędź podstawy: \(3x=3\cdot6=18\)
Dłuższa krawędź podstawy: \(4x=4\cdot6=24\)

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Przekątna \(AC\) naszego prostokąta znajdującego się w podstawie tworzy wraz z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. Przed chwilą obliczyliśmy długości krawędzi tej podstawy, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$18^2+24^2=|AC|^2 \\
324+576=|AC|^2 \\
|AC|^2=900 \\
|AC|=30 \quad\lor\quad |AC|=-30$$

Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AC|=30\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AO\).
Znamy już długość przekątnej podstawy, ale nam do dalszych obliczeń przyda się tak naprawdę znajomość długości odcinka \(AO\), bo to będzie dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego \(AOS\). Odcinek \(AO\) jest dwa razy krótszy od całej przekątnej \(AC\), zatem:
$$|AO|=30:2 \\
|AO|=15$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz trójkąt \(AOS\). Znamy miarę kąta \(SAO\), znamy długość dolnej przyprostokątnej, a szukamy wysokości ostrosłupa (czyli przyprostokątnej \(|SO|\) tego trójkąta), bo jest ona nam potrzebna do wyliczenia objętości. W związku z tym do wyliczenia długości odcinka \(SO\) możemy wykorzystać tangensa:
$$tg60°=\frac{|SO|}{|AO|} \\
tg60°=\frac{|SO|}{15} \\
\sqrt{3}=\frac{|SO|}{15} \\
|SO|=15\sqrt{3}$$

To oznacza, że wysokość naszego ostrosłupa to \(H=15\sqrt{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni \(P_{p}=432\), znamy też wysokość ostrosłupa \(H=15\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot15\sqrt{3} \\
V=2160\sqrt{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(x^2+(1-2x)^2+7x\cdot(1-2x)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy uprościsz całość do postaci równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Uproszczenie wyrażenia z dwoma niewiadomymi do wyrażenia z jedną niewiadomą.
Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy dojść do sytuacji w której mamy jedną niewiadomą. W tym celu dobrze byłoby wyznaczyć z wyrażenia \(2x+z=1\) niewiadomą \(z\) i podstawić ją potem do wyrażenia \(x^2+z^2+7xz\). W związku z tym:
$$2x+z=1 \\
z=1-2x$$

Podstawiając tę wartość do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$x^2+(1-2x)^2+7x\cdot(1-2x)= \\
=x^2+1^2-4x+4x^2+7x-14x^2= \\
=-9x^2+3x+1$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy wyrażenie, do którego pod iksa możemy podstawiać różne liczby, otrzymując w ten sposób jakieś konkretne wyniki. Możemy więc rozpatrzeć tę sytuację jako klasyczny przykład funkcji, a skoro pojawia nam się tutaj niewiadoma \(x\) podniesiona do kwadratu, to jest to funkcja kwadratowa.

Naszym zadaniem jest teraz dowiedzieć się dla jakiego argumentu \(x\) ta funkcja przyjmie największą wartość, no i musimy podać tę wartość (to jest właśnie istotą tego zadania). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a skoro współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, bo \(a=-9\), to ramiona tej paraboli będą skierowane do dołu. To oznacza, że ta nasza funkcja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Z tego szkicowego rysunku wynika jasno, że największą wartość ta funkcja przyjmie w swoim wierzchołku. Musimy więc poznać współrzędne tego wierzchołka.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) posłużymy się wzorami:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
q=\frac{-\delta}{4a}$$

Do obliczenia współrzędnej \(q\) potrzebna nam będzie delta, zatem obliczmy ją w tym momencie:
Współczynniki: \(a=-9,\;b=3,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-9)\cdot1=9-(-36)=9+36=45$$

Znamy więc wartości wszystkich współczynników, znamy też deltę, zatem możemy podstawić te dane do naszych wzorów, otrzymując:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-3}{2\cdot(-9)} \\
p=\frac{-3}{-18} \\
p=\frac{1}{6}$$

$$q=\frac{-45}{4\cdot(-9)} \\
q=\frac{-45}{-36} \\
q=\frac{5}{4}$$

Wyszło nam więc, że wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie \(W=\left(\frac{1}{6};\frac{5}{4}\right)\). To oznacza, że największą możliwą wartością tej funkcji (a tym samym naszego wyrażenia) jest wartość \(\frac{5}{4}\).

Znamy też już jedną z niewiadomych wchodzących w skład tego wyrażenia, czyli wiemy że \(x=\frac{1}{6}\). Musimy jeszcze tylko wyznaczyć wartość niewiadomej \(z\).

Krok 4. Obliczenie wartości niewiadomej \(z\).
Korzystając z informacji, że \(2x+z=1\) oraz wiedząc, że \(x=\frac{1}{6}\) otrzymamy:
$$2\cdot\frac{1}{6}+z=1 \\
\frac{1}{3}+z=1 \\
z=\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąt \(DCB\) ma miarę \(60°\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprowadzisz na rysunku wysokość \(BD\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz trójkąt równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość wysokości \(BD\) (patrz: Krok 2.) oraz odcinka \(DC\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz odpowiednie równanie (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W tym zadaniu musimy zauważyć, że dorysowując wysokość padającą na bok \(CA\) utworzy nam się tak naprawdę połowa trójkąta równobocznego. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek:


Kąt \(DCB\) ma na pewno miarę \(60°\), gdyż jest to kąt przyległy do kąta \(120°\), a suma kątów przyległych musi być równa \(180°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości \(BD\).
Wysokość trójkąta równobocznego obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość \(a=10\), bo odcinek \(|BC|=10\). Zatem:
$$h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości \(DA\).
Spójrzmy teraz na trójkąt \(DAB\). Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków: \(BD=5\sqrt{3}\) oraz \(|AB|=10\sqrt{7}\). Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka \(DA\):
$$|BD|^2+|DA|^2=|AB|^2 \\
(5\sqrt{3})^2+|DA|^2=(10\sqrt{7})^2 \\
25\cdot3+|DA|^2=100\cdot7 \\
75+|DA|^2=700 \\
|DA|^2=625 \\
|DA|=25 \quad\lor\quad |DA|=-25$$

Ujemny wynik tego równania kwadratowego oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W związku z tym \(|DA|=25\).

Krok 4. Obliczenie długości \(DC\).
Długość \(DC\) zgodnie z własnościami trójkątów równobocznych jest równa połowie długości boku trójkąta (bo wysokość dzieli nam podstawę tego trójkąta na dwie równe części). Stąd też:
$$|DC|=10:2 \\
|DC|=5$$

Krok 5. Obliczenie długości \(CA\).
Wiemy już, że \(|DA|=25\). Wiemy też, że \(|DC|=5\). Różnica tych dwóch długości da nam odpowiedź na to jaką długość ma nasz poszukiwany odcinek \(CA\):
$$|CA|=|DA|-|DC| \\
|CA|=25-5 \\
|CA|=20$$