Przekształcenia funkcji – zadania maturalne

B

Aby otrzymać wykres funkcji \(g(x)\) musimy zgodnie z zapisem równości \(g(x)=f(x)+2\) przesunąć wykres \(f(x)\) o dwie jednostki do góry. To oznacza, że prawidłowego przesunięcia dokonano w odpowiedzi \(B\).

B

Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).

W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.

Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).

C

Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego.
To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\).

a) \(x\in(2;3)\)
b) \(x=6\)

Krok 1. Podanie pożądanego zbioru argumentów.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera tylko dla \(x\in(2;3)\).

Krok 2. Podanie miejsca zerowego dla funkcji \(g(x)=f(x-3)\).
Nasza funkcja \(f(x)\) ma tylko jedno miejsce zerowe i jest to \(x=3\). Przesunięcie tej funkcji o trzy jednostki w prawo (a tak będzie wyglądać funkcja \(g(x)\)) sprawi, że miejsce zerowe nadal będzie jedno i tym razem będzie to \(x=6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór argumentów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wskażesz miejsce funkcji \(g(x)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

a) \(q=-3\)
b) \(x=1\) oraz \(x=3\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie jak musi wyglądać nasza funkcja \(h(x)\) wiedząc, że jest ona przesuniętą postacią funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że miejscem zerowym tej funkcji jest teraz \(x=-1\).



Krok 2. Określenie wartości \(q\).
Wykres funkcji \(h(x)\) trzeba było przesunąć o trzy jednostki do dołu, zatem:
$$h(x)=f(x)+q \\
h(x)=f(x)-3 \\
\text{zatem: } q=-3$$

Krok 3. Odczytanie wszystkich miejsc zerowych.
Z rysunku możemy odczytać pozostałe miejsca zerowe tej funkcji. Oprócz \(x=-1\) miejscami zerowymi są także \(x=1\) oraz \(x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(q=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy określisz pozostałe miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=3\) (patrz: Krok 3.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.