Dany jest stożek o objętości 8 pi, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8

Dany jest stożek o objętości \(8π\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

dany jest stożek o objętości 8 pi

Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).

Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \\
8π=64x^3 \\
x^3=\frac{1}{8} \\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:
$$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \\
H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+H^2=l^2 \\
4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \\
16+\frac{9}{4}=l^2 \\
l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \\
l^2=\frac{73}{4} \\
l=\sqrt{\frac{73}{4}} \\
l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.

$$P_{b}=πrl \\
P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \\
P_{b}=2\sqrt{73}π$$

Odpowiedź:

\(P_{b}=2\sqrt{73}π\)

Dodaj komentarz