Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 72, a promień okręgu wpisanego

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 72

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):

objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 72

Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.

Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\
a\sqrt{3}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej – wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\
72=4\sqrt{3}\cdot H \\
H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\
H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2 \\
|SO|=H=6\sqrt{3} \\
\text{więc} \\
tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\
tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Odpowiedź:

\(tgα=\frac{\sqrt{3}}{9}\)

Dodaj komentarz