Dany jest trójkąt ABC, w którym AC>BC. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio punkty

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC|\gt|BC|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\), że zachodzi równość \(|CD|=|CE|\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD|\).

dany jest trójkąt ABC, w którym

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.

Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)

Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).

Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).

Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\\
|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\\
|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\\
=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\\
=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β \\
|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)

Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.

W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD| \\
-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β) \\
-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) \\
-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β \\
-180°+2α+β=-180°+2α+β \\
L=P$$

Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności kątów i trójkątów.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.