Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Nowa Era 2018

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz średnią ocen ze sprawdzianu.
LUB
• Gdy sposób rozwiązywania jest dobry, ale popełniono błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie średniej ocen z kartkówki.
Z wykresu możemy odczytać, że:
• \(4\) uczniów otrzymało jedynkę
• \(6\) uczniów otrzymało dwójkę
• \(7\) uczniów otrzymało trójkę
• \(2\) uczniów otrzymało czwórkę
• \(1\) uczeń otrzymał piątkę

To oznacza, że średnia ocen uczniów wyniosła:
$$śr=\frac{4\cdot1+6\cdot2+7\cdot3+2\cdot4+1\cdot5}{4+6+7+2+1} \\
śr=\frac{4+12+21+8+5}{20} \\
śr=\frac{50}{20} \\
śr=2,5$$

Krok 2. Obliczenie o ile ocena, którą uzyskał Janek, była wyższa niż średnia ocen.
Janek otrzymał ocenę \(3\). Średnia klasy wyniosła \(2,5\). To oznacza, że ocena Janka jest wyższa od średniej ocen całej klasy o \(3-2,5=0,5\) stopnia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sposób rozwiązywania jest dobry, ale popełniono błąd rachunkowy (np. źle obliczysz sumę zamówień lub procent udziału Leny w całym zamówieniu).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie łącznej kwoty zamówienia (bez napiwku) oraz samego napiwku.
Zgodnie z treścią zadania zamówienie Ani kosztowało \(24zł\), Hani \(36zł\), a Leny \(40zł\). Łącznie więc koszt zamówionych rzeczy wyniósł:
$$24zł+36zł+40zł=100zł$$

Skoro na rachunku była do zapłaty kwota \(115zł\), a zamówione produkty kosztowały \(100zł\), to napiwek wyniósł:
$$115zł-100zł=15zł$$

Krok 2. Ustalenie udziału Leny w całym zamówieniu.
Dziewczyny zamówiły produkty za \(100zł\), z czego Lena zamówiła za \(40zł\). Udział Leny w całym rachunku wyniósł więc:
$$\frac{40}{100}\cdot100\%=40\%$$

Krok 3. Ustalenie ile Lena powinna dopłacić na napiwek.
Jeżeli chcemy, by dziewczynki zapłaciły napiwek proporcjonalnie do swojego zamówienia, to Lena powinna zapłacić \(40\%\) kwoty napiwku. Wiemy już, że napiwek wyniósł \(15zł\), zatem Lena powinna zapłacić:
$$0,4\cdot15zł=6zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz miarę zaznaczonego kąta, ale nie określisz, że jest to kąt ostry.
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby dobrze opisać co będziemy liczyć, to oznaczmy sobie zacieniony kawałek kąta przy boku \(AE\) jako \(α\), natomiast zacieniony kawałek kąta przy boku \(AD\) jako \(β\).


Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).
Spróbujmy ustalić jaka jest miara zacienionego kąta \(α\). Powinniśmy dostrzec, że ten kąt oraz kąt o mierze \(42°\) są kątami naprzemianległymi, zatem będą one miały jednakową miarę. Z tego też względu \(α=42°\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).
Kąt o mierze \(47°\) oraz nasz kąt \(β\) tworzą parę kątów wierzchołkowych. Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że mają one tą samą miarę, stąd też możemy zapisać, że \(β=47°\).

Krok 3. Obliczenie miary zacienionego kąta.
Nasz zacieniony kąt jest sumą miar kątów \(α\) oraz \(β\), zatem jego miara wyniesie:
$$42°+47°=89°$$

Zacieniony kąt jest więc kątem ostrym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długość przeciwprostokątnej trójkąta (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz długości boków drugiej figury (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej trójkąta.
Prostokąt został podzielony na cztery przystające (czyli jednakowe) trójkąty prostokątne. Spróbujmy poznać wymiary każdego z tych trójkątów. Ustalmy najpierw jakie są długości przyprostokątnych tego trójkąta. Z rysunku wynika, że \(a=8cm\) (bo krótsza przyprostokątna pokrywa się z krótszym bokiem prostokąta), natomiast \(b=15cm\) (bo dłuższa przyprostokątna to połowa długości całego prostokąta).

Znając długości przyprostokątnych możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej, której długość potrzebujemy do obliczenia obwodu drugiej figury. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+15^2=c^2 \\
64+225=c^2 \\
c^2=289 \\
c=\sqrt{289} \quad\lor\quad c=-\sqrt{289} \\
c=17 \quad\lor\quad c=-17$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=17cm\).

Krok 2. Obliczenie różnicy między dłuższą i krótszą przyprostokątną.
Jak spojrzymy się na rysunek to zauważymy, że na obwód drugiej figury składają się jeszcze takie małe fragmenty, które są różnicą między długością dłuższej i krótszej przyprostokątnej.


Dłuższa przyprostokątna ma długość \(15cm\), krótsza ma długość \(8cm\), zatem każdy pojedynczy mały kawałeczek obwodu tej figury będzie miał długość:
$$15cm-8cm=7cm$$

Krok 3. Obliczenie obwodu figury.
Nasza figura składa się z czterech odcinków o długości przeciwprostokątnej (którą wyznaczyliśmy w 1. kroku) oraz czterech odcinków o długości będącej różnicą między przyprostokątnymi (którą wyznaczyliśmy w 2. kroku). W związku z tym:
$$Obw=4\cdot17cm+4\cdot7cm=68cm+28cm=96cm$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz ile metrów kwadratowych można pomalować z jednego opakowania farby (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz ile litrów każdej farby potrzeba do pomalowania \(140m^2\).
LUB
• Gdy błędnie założysz, że dziadek potrzebuje \(70m^2\) i konsekwentnie do tego błędu wyjdzie Ci, że najatrakcyjniejsza jest farba Welurowa.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz liczbę potrzebnych puszek (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie ile metrów kwadratowych da się pomalować pojedynczą puszką farby.
W ostatniej kolumnie mamy podaną wydajność każdej z farb w przeliczeniu na \(1\) litr. Spróbujmy zatem sprawdzić ile metrów kwadratowych pomalujemy mając każdą z wymienionych puszek. W tym celu musimy wymnożyć pojemność puszki przez jej wydajność:
• Śnieżynka: \(2\cdot10\frac{m^2}{l}=20m^2\)
• Bielinka: \(3\cdot10\frac{m^2}{l}=30m^2\)
• Aksamitna: \(4\cdot12\frac{m^2}{l}=48m^2\)
• Welurowa: \(5\cdot14\frac{m^2}{l}=70m^2\)

Krok 2. Obliczenie ile puszek trzeba kupić i jaka jest ich łączna cena.
Dziadek chce pomalować powierzchnię \(70m^2\) i chce to zrobić dwukrotnie, czyli realnie pomaluje \(2\cdot70m^2=140m^2\). Sprawdźmy zatem ilu puszek farby potrzeba do pomalowania takiej powierzchni i ile trzeba za nie zapłacić:

• Śnieżynka - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(20m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:20m^2=7$$

Cena pojedynczej puszki to \(16zł\), zatem malowanie Śnieżynką będzie kosztować:
$$7\cdot16zł=112zł$$

• Bielinka - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(30m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:30m^2=4\frac{2}{3}\approx5$$

Musieliśmy zaokrąglić (do góry) liczbę puszek do pełnej wartości, bo nie da się przecież kupić \(4\frac{2}{3}\) puszki. Stąd też potrzeba kupić \(5\) opakowań tej farby. Cena pojedynczej puszki to \(22zł\), zatem malowanie Bielinką będzie kosztować:
$$5\cdot22zł=110zł$$

• Aksamitna - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(48m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:48m^2=2\frac{11}{12}\approx3$$

Musieliśmy zaokrąglić (do góry) liczbę puszek do pełnej wartości, bo nie da się przecież kupić \(2\frac{11}{12}\) puszki. Stąd też potrzeba kupić \(3\) opakowania tej farby. Cena pojedynczej puszki to \(35zł\), zatem malowanie Aksamitną będzie kosztować:
$$3\cdot35zł=105zł$$

• Welurowa - jedną puszką jesteśmy w stanie pomalować \(70m^2\), zatem tych puszek potrzebujemy:
$$140m^2:70m^2=2$$

Cena pojedynczej puszki to \(54zł\), zatem malowanie Welurową będzie kosztować:
$$2\cdot54zł=108zł$$

To oznacza, że najkorzystniej wyjdzie kupić farbę Aksamitną.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz cenę komputera kupowanego na raty (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz kwotę, którą trzeba zapłacić "od ręki" (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy obliczysz kwotę, która będzie rozłożona na raty (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie ceny komputera przy płatności ratalnej.
Skoro komputer kosztuje \(2500zł\), a w ofercie ratalnej jego cena ulega podwyższeniu o \(8\%\), to cena tego komputera wyniesie:
$$1,08\cdot2500zł=2700zł$$

Krok 2. Obliczenie kwoty, która będzie rozłożona na raty.
Z treści zadania wynika, że trzeba od razu zapłacić \(20\%\) podwyższonej ceny komputera, czyli na starcie trzeba zapłacić:
$$0,2\cdot2700zł=540zł$$

To oznacza, że na raty zostanie rozłożona kwota w wysokości:
$$2700zł-540zł=2160zł$$

Oczywiście moglibyśmy też zapisać od razu, że na raty zostanie rozłożone \(80\%\) podwyższonej kwoty. Wynik wyjdzie dokładnie ten sam:
$$0,8\cdot2700zł=2160zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości raty.
Wiemy już, że na raty zostanie rozłożona kwota \(2160zł\). Skoro mamy mieć \(12\) rat, to każda z nich wyniesie:
$$2160zł:12=180zł$$