Rozwiązanie
Do zadania możemy podejść na różne sposoby.
I sposób - dla spostrzegawczych.
Moglibyśmy dostrzec, że trzeci wyraz \(x+1\) jest \(4\) razy mniejszy od pierwszego wyrazu \(4x+4\), a to znacząco uprości obliczenia. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{3}=a_{1}\cdot q^2\), a więc \(q^2=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). Skoro tak, to:
$$q^2=\frac{x+1}{4x+4} \\
q^2=\frac{x+1}{4\cdot(x+1)} \\
q^2=\frac{1}{4} \\
q=\frac{1}{2} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{2}$$
Ujemne \(q\) odrzucamy, bo dla ujemnego \(q\) nigdy nie otrzymamy ciągu o dodatnich wyrazach (a zgodnie z treścią zadania - ciąg ma mieć wszystkie wyrazy dodatnie). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{2}\).
II sposób - korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego wzoru wartości naszych wyrazów, otrzymamy:
$$(x+3)^2=(4x+4)\cdot(x+1) \\
x^2+6x+9=4x^2+4x+4x+4 \\
x^2+6x+9=4x^2+8x+4 \\
-3x^2-2x+5=0$$
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-2,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-3)\cdot5=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-8}{2\cdot(-3)}=\frac{2-8}{-6}=\frac{-6}{-6}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+8}{2\cdot(-3)}=\frac{2+8}{-6}=\frac{10}{-6}=-1\frac{2}{3}$$
Z otrzymanych rozwiązań pasuje nam jedynie \(x=1\), bo tylko wtedy nasze wyrazy będą dodatnie. Podstawmy zatem \(x=1\) do naszych wyrazów:
$$a_{1}=4x+4=4+4=8 \\
a_{2}=x+3=1+3=4 \\
a_{3}=x+1=1+1=2$$
Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów, obliczenie \(q\) jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{4}{8} \\
q=\frac{1}{2}$$
