Równania kwadratowe – zadania maturalne

\(40\)

Krok 1. Obliczenie rozwiązań równania kwadratowego.
W treści zadania mamy tak naprawdę podane równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. To oznacza, że wystarczy przyrównać wartości z poszczególnych nawiasów do zera i dzięki temu poznamy rozwiązania tego równania, tak więc:
$$x+2=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=6$$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x_{1}=-2\) oraz \(x_{2}=6\).

Krok 2. Obliczenie wartości \({x_{1}}^2+{x_{2}}^2\).
$${x_{1}}^2+{x_{2}}^2=(-2)^2+6^2=4+36=40$$

\(-\frac{3}{2}\)

Jeśli znamy wzory Viete'a (są zapisane w tablicach maturalnych) to wiemy, że:
$$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$$

(\(a\) oraz \(b\) to współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej).

Na maturze podstawowej jednak wzory te nie są obowiązkowe, więc możemy obliczyć to równanie kwadratowe metodą delty.

Krok 1. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=3,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9-(-56)=9+56=65 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{65}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{65}}{2\cdot2}=\frac{-3+\sqrt{65}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(x_{1}+x_{2}\).
Podstawmy do naszej sumy wyliczone przed chwilą liczby i otrzymamy:
$$x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4} \\
x_{1}+x_{2}=\frac{-3-\sqrt{65}+(-3)+\sqrt{65}}{4} \\
x_{1}+x_{2}=\frac{-6}{4} \\
x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$$

\(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=0\)

Krok 1. Obliczenie wartości pierwiastków równania.
Pierwiastki, czyli rozwiązania tego równania, wyliczymy dość prosto, bo równanie mamy podane w postaci iloczynowej. Wiemy, że aby równanie było równe zero, to jeden z czynników tego równania (czyli jedna z wartości w nawiasach) musi nam to równanie "wyzerować". Zatem:
$$2(x+2)(x-2)=0 \\
x+2=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x_{1}=-2 \quad\lor\quad x_{2}=2$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\).
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\) i sprawdzenie która z odpowiedzi jest poprawna:
$$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$$

ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$

Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne.

Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne.
Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-9,8}{2\cdot2}=\frac{-20,8}{4}=-5,2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+9,8}{2\cdot2}=\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

prawdziwa dla \(x=-1\)

Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).

W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).

Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\
\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\
x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\
x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$

No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).

\(-22\)

Skoro mamy przedstawione równanie kwadratowe w postaci ogólnej, to bez problemu możemy wyznaczyć pierwiastki tego równania korzystając z metody delty.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100+96=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

\(x_{1}\lt x_{2}\) - czyli zależność zapisana w treści zadania jest spełniona.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2x_{1}+x_{2}\).
$$2x_{1}+x_{2}=2\cdot(-12)+2=-24+2=-22$$

\((2;+\infty)\)

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Najpierw musimy wymnożyć wartości stojące przed nawiasami, a następnie obliczyć wartość \(x\):
$$x(x+3)-49=x(x-4) \\
x^2+3x-49=x^2-4x \\
7x=49 \\
x=7$$

Krok 2. Sprawdzanie do którego przedziału pasuje nasze rozwiązanie.
\(x=7\) należy jedynie do przedziału \((2;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź w tym zadaniu.