Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę

Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100°\). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110°\) (zobacz rysunek).

punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S

Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę:

\(15°\)
\(20°\)
\(25°\)
\(30°\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDA\) (i tym samym \(EDA\)).

Kąt \(CDA\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że kąt wpisany będzie miał miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle CDA|=110°:2=55°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DEA\).

Kąty \(BEC\) oraz \(DEA\) są kątami wierzchołkowymi. To oznacza, że mają równą miarę.
$$|\sphericalangle DEA|=|\sphericalangle BEC|=100°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(BAD\).

Kąt \(BAD\) wyliczymy z kątów w trójkącie \(DEA\). W kroku pierwszym i drugim wyliczyliśmy tak naprawdę miary dwóch z kątów tego trójkąta, a trzecim brakującym będzie właśnie poszukiwany przez nas kąt. Jego miara jest zatem równa:
$$|\sphericalangle BAD|=180°-|\sphericalangle CDA|-|\sphericalangle DEA| \\
|\sphericalangle BAD|=180°-55°-100° \\
|\sphericalangle BAD|=25°$$

Odpowiedź:

C. \(25°\)

Dodaj komentarz