Liczba ścian, krawędzi oraz wierzchołków ostrosłupa

Każdy ostrosłup ma określoną liczbę ścian, krawędzi oraz wierzchołków. Ich liczba uzależniona jest od figury, która znajduje się w podstawie. Wszystkie te elementy można policzyć rysując sobie rysunek pomocniczy albo używając sprytnych wzorów:

Jeżeli \(n\) to liczba boków figury znajdującej się w podstawie, to ostrosłup będzie miał:
\(n+1\) ścian
\(2n\) krawędzi
\(n+1\) wierzchołków
Pamiętaj!
Ostrosłup nie ma tylko jednego wierzchołka. Owszem, kojarzymy ostrosłupy z tym, że na górze ma on jeden wierzchołek do którego zbiegają wszystkie krawędzie boczne, ale w podstawie także znajdują się wierzchołki.
Przykład 1. Ile ścian, krawędzi oraz wierzchołków ma ostrosłup czworokątny?

Rozwiązanie:
Wiemy, że ostrosłup jest czworokątny, czyli w podstawie mamy czworokąt (nie jest nawet ważne jaki to jest czworokąt). Możemy więc zapisać, że \(n=4\), a w związku z tym:
Liczba ścian jest równa \(n+1\), czyli \(4+1=5\)
Liczba krawędzi jest równa \(2n\), czyli \(2\cdot4=8\)
Liczba wierzchołków jest równa \(n+1\), czyli \(4+1=5\)

Przykład 2. Ile ścian ma ostrosłup, który posiada \(14\) krawędzi.

Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Zgodnie z naszymi wzorami liczbę krawędzi graniastosłupa opisujemy wzorem \(2n\). Skoro nasz ostrosłup ma \(14\) krawędzi, to:
$$2n=14 \\
n=7$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby ścian graniastosłupa.
Wiemy już, że w podstawie naszej bryły znajduje się siedmiokąt (bo \(n=7\), czyli figura ma siedem boków). Liczbę ścian obliczymy ze wzoru \(n+1\), zatem podstawiając \(n=7\) otrzymamy:
$$n+1=7+1=8$$

To oznacza, że taki graniastosłup będzie miał \(8\) ścian.

Przykład 3. Czy istnieje ostrosłup, który ma \(9\) krawędzi?

Rozwiązanie:
Nie, taki ostrosłup nie istnieje. Skąd to wiemy? Liczbę krawędzi ostrosłupa opisujemy wzorem \(n+1\). Skoro nasz ostrosłup ma mieć \(9\) krawędzi, to wyszłoby nam, że:
$$2n=9 \\
n=4,5$$

Nie istnieje coś takiego jak „czteroipółkąt”. Wartość \(n\) musi być zawsze liczbą naturalną (i to równą przynajmniej \(3\)), stąd też na pewno wskazany graniastosłup nie istnieje.

Zobacz też: Ostrosłupy

Dodaj komentarz