Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=(a+1)(x-2)^2(x+1) dla wszystkich liczb rzeczywistych x

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=(a+1)(x-2)^2(x+1)\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Dla jakich wartości \(a\) spełniona jest nierówność \(f(0)\cdot f(1)\le16\)?

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\).
Na początek obliczmy wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\), podstawiając odpowiednio do wzoru funkcji \(x=0\) oraz \(x=1\):
$$f(0)=(a+1)\cdot(0-2)^2\cdot(0+1) \\
f(0)=(a+1)\cdot(-2)^2\cdot1 \\
f(0)=(a+1)\cdot4\cdot1 \\
f(0)=4a+4$$

$$f(1)=(a+1)\cdot(1-2)^2\cdot(1+1) \\
f(1)=(a+1)\cdot(-1)^2\cdot2 \\
f(1)=(a+1)\cdot1\cdot2 \\
f(1)=2a+2$$

Krok 2. Podstawienie obliczonych wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\) do nierówności.
Podstawmy teraz to co przed chwilą wyznaczyliśmy do wskazanej nierówności:
$$f(0)\cdot f(1)\le16 \\
(4a+4)\cdot(2a+2)\le16 \\
8a^2+8a+8a+8\le16 \\
8a^2+16a+8\le16 \\
8a^2+16a-8\le0 \quad\bigg/:2 \\
a^2+2a-1\le0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=4-(-4)=4+4=8 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2} \\
a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$$

Teraz musimy naszkicować naszą parabolę, zatem nanosimy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki muszą być zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni:
matura z matematyki

Z rysunku możemy teraz odczytać, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane dla \(a\in\langle-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rangle\).

Odpowiedź

\(a\in\langle-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rangle\)

Dodaj komentarz