Styczna do okręgu i okręgi styczne – zadania maturalne

A

Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.



Spójrzmy na rysunek poglądowy. Widzimy wyraźnie, że średnica okręgu jest jednocześnie przekątną naszego kwadratu. Korzystając z tej wiedzy bez problemu wyliczymy długość boku kwadratu.

Krok 2. Obliczenie średnicy okręgu.
W treści zadania mamy podaną długość promienia. To największa pułapka w tym zadaniu. My musimy znać średnicę, a ta będzie równa oczywiście:
$$2\cdot4=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Długość przekątnej kwadratu jest równa średnicy okręgu, a więc możemy ułożyć równanie:
$$a\sqrt{2}=8 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}$$

Krok 4. Usunięcie niewymierności z mianownika:
$$a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

A

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że promień okręgu, który jest opisany na trójkącie jest równy \(\frac{2}{3}\) jego wysokości. Zatem:
$$\frac{2}{3}h=r \\
\frac{2}{3}h=12 \\
h=18$$

C

Wiemy, że średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa długości przeciwprostokątnej.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej (i tym samym średnicy).
Długość przeciwprostokątnej wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
5^2+12^2=c^2 \\
25+144=c^2 \\
c^2=169 \\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka nie może być ujemna. Przeciwprostokątna ma więc długość \(13\).

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
To wszystko to jednak nie jest koniec zadania. Musimy obliczyć długość promienia, bo póki co znamy długość średnicy. Wystarczy więc podzielić długość średnicy przez dwa i otrzymamy prawidłową odpowiedź:
$$13:2=6,5$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Interpretacja rysunku.
Widzimy wyraźnie, że odległość między środkami tych okręgów jest równa długości promienia mniejszego okręgu. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(12\).

B

Krok 1. Ustalenie długości przekątnej kwadratu.
Z własności kwadratów wpisanych w okrąg wynika, że przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest równa \(2r\), czyli w naszym przypadku \(2\cdot5=10\).

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratu wiemy, że przekątną możemy opisać wzorem: \(d=a\sqrt{2}\).
Skoro przekątna kwadratu ma długość \(10\), to bok kwadratu jest równy:
$$10=a\sqrt{2} \\
a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
$$P=a^2 \\
P=(5\sqrt{2})^2=25\cdot2=50$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest sporządzenie dobrego rysunku pomocniczego.



Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że długość promienia obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie długości promienia.
$$3^2+4^2=r^2 \\
9+16=r^2 \\
r^2=25 \\
r=5$$

C

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Ustalmy sobie może najpierw po co nam jest potrzebna wysokość. Przyda nam się ona w drugim kroku, gdzie skorzystamy ze wzoru na promień okręg wpisanego w trójkąt.
Znając długość boku trójkąta równobocznego jego wysokość obliczymy ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\cdot3}{2} \\
h=36$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości tego trójkąta. Zatem:
$$r=\frac{1}{3}h \\
r=\frac{1}{3}\cdot36 \\
r=12$$

C

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego na tej figurze. My do obliczenia pola powierzchni koła potrzebujemy długości promienia, tak więc:
$$r=\frac{8}{2}=4$$

Pole koła będzie więc równe:
$$P=πr^2 \\
P=π\cdot4^2 \\
P=16π$$

B

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma średnicę równą przeciwprostokątnej. W związku z tym:
$$a^2+b^2=d^2 \\
12^2+9^2=d^2 \\
144+81=d^2 \\
d^2=225 \\
d=15$$

Skoro średnica okręgu jest równa \(d=15\), to promień będzie miał długość \(r=\frac{15}{2}\).

C

Zgodnie z własnościami okręgów opisanych na trójkącie równobocznym wiemy, że promień okręgu jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Zatem:
$$\frac{2}{3}h=R \\
\frac{2}{3}h=8 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
h=12$$

B

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\).
Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\
4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\
16+|PO_{1}|^2=49 \\
|PO_{1}|^2=33 \\
|PO_{1}|=\sqrt{33}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\
P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\
P=2\sqrt{33}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Jeśli dość dokładnie narysujemy ten szkic to tak naprawdę już z samego rysunku będziemy w stanie odczytać długość promienia, zwłaszcza że punkt styczności wypadnie w równym punkcie \(A=(6;0)\). Skąd wiemy, że akurat w tym punkcie wypadnie punkt styczności? Skoro promienie mają być sobie równe, to punkt styczności będzie tak naprawdę środkiem odcinka \(S_{1}S_{2}\) (możemy go wyznaczyć albo matematycznie, albo nawet linijką jeśli inaczej nie potrafimy).

To jest jednak taki alternatywny sposób (gdybyśmy nie umieli tego obliczyć nieco bardziej matematycznie). My natomiast spróbujmy policzyć to zadanie z wykorzystaniem wzoru na odległość między dwoma punktami.

Krok 2. Obliczenie odległości między \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\).
Zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami mamy:
$$|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{6^2+(-8)^2} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{36+64} \\
|S_{1}S_{2}|=\sqrt{100} \\
|S_{1}S_{2}|=10$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia.
Z rysunku bardzo wyraźnie wynika, że odległość między środkami \(S_{1}\) oraz \(S_{2}\) jest równa sumie długości promieni. W treści zadania mamy informację, że długości tych promieni są równe, więc oznaczając każdy z nich jako \(r\) otrzymamy:
$$r+r=10 \\
2r=10 \\
r=5$$

C

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest sporządzenie poprawnego rysunku szkicowego.



Szukamy długości między środkami tych okręgów. Z rysunku wynika, że ta odległość jest równa \(10\) i taka też jest nasza odpowiedź na to zadanie.

Udowodniono wykorzystując własności stycznej do okręgu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Połączmy ze sobą punkty \(L\) oraz \(O\) (będzie to promień okręgu) i wprowadźmy sobie proste oznaczenia kątów:



Z własności stycznych wiemy, że kąt między styczną, a promieniem okręgu, jest kątem prostym (patrz rysunek). To pozwoli nam w prosty sposób wyznaczyć miarę kąta \(α\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Skoro suma kątów w trójkącie \(OKL\) ma być równa \(180°\), to kąt \(α\) ma miarę:
$$α=180°-90°-28°=62°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(β\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych opartych na tym samym łuku wiemy, że kąt wpisany w okręg (a takim jest nasz kąt \(β\)) jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego (a takim jest tutaj kąt \(α\)). Zatem:
$$β=62°:2=31°$$

I właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz (może być na rysunku), że kąt \(KLO\) jest prosty oraz zapiszesz że \(|\sphericalangle LOK|=2\cdot|\sphericalangle LMO|\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że \(|\sphericalangle LMO|=|\sphericalangle MLO|\), bo jest to trójkąt równoramienny.
ALBO
• Gdy połączysz punkt \(P\) z punktem przecięcia się okręgu i odcinka \(OK\), oznaczysz ten punkt przykładowo jako \(N\) i zauważysz, że powstał trójkąt prostokątny, a z własności stycznych do okręgu zapiszesz, że \(|\sphericalangle NLK|=|\sphericalangle LMN|\)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wykorzystując własności kątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):



Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).
Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:
$$β+γ=90° \\
γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:
$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\
δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:
$$δ+90°-β=180° \\
δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:
$$90°+β+δ+α=360° \\
90°+β+(90°+β)+α=360° \\
180°+2β+α=360° \\
α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz własności trójkątów równoramiennych i/lub stycznych do okręgu, zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku) poszczególne miary kątów powiązując je z kątami \(α\) oraz \(β\) (patrz: Krok 1 oraz 2.).
Uwaga: W zadaniu jest bardzo dużo dróg dojścia do uzasadnienia, możesz więc przyznać sobie 1 punkt także za zapisanie zupełnie innych relacji, byleby były one powiązane z kątami \(α\) oraz \(β\) i by prowadziły do ostatecznego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 1. Zapisanie wzoru na pole pierścienia.
Pole pierścienia możemy zapisać jako różnicę między polem powierzchni dużego koła (o promieniu duże \(R\)) i małego (o promieniu małe \(r\)), zatem:
$$P=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$$

No i teraz naszym zadaniem jest doprowadzenie do sytuacji w której pozbędziemy się wartości promieni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wiedząc, że styczna jest zawsze prostopadła do promienia okręgu, możemy stworzyć następujący trójkąt prostokątny:



Krok 3. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(R^2-r^2\) z Twierdzenia Pitagorasa.
Podstawiając do Twierdzenia Pitagorasa dane i oznaczenia z naszego rysunku otrzymamy:
$$r^2+5^2=R^2 \\
r^2+25=R^2 \\
25=R^2-r^2$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Podstawiając wartość \(R^2-r^2\) do wzoru na pole pierścienia otrzymamy, że:
$$P=π(R^2-r^2) \\
P=25π$$

I taki zapis kończy nasze dowodzenie, bo udało nam się określić wzór na pole pierścienia bez występowania długości promieni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole pierścienia \(P=πR^2-πr^2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.