Działania na potęgach

Działania na potęgach są jedną z umiejętności, która bardzo często wykorzystywana jest na różnych sprawdzianach i egzaminach, dlatego poznajmy odpowiednie wzory i przykłady, które rozwieją nasze wszelkie wątpliwości.

Mnożenie potęg o tych samych podstawach:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\
3^8\cdot 3^4=3^{8+4}=3^{12}$$
Dzielenie potęg o tych samych podstawach:
$$a^n:a^m=a^{n-m} \quad \text{lub} \quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\
3^8:3^4=3^{8-4}=3^4 \quad \text{lub} \quad \frac{3^8}{3^4}=3^{8-4}=3^4$$
Mnożenie potęg o tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \\
3^8\cdot 5^8=(3\cdot 5)^8$$
Dzielenie potęg o tym samym wykładniku:
$$a^n:b^n=(a:b)^n \quad \text{lub} \quad \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n \\
3^8:5^8=(3:5)^8 \quad \text{lub} \quad \frac{3^8}{5^8}=\left (\frac{3}{5}\right )^8$$
Potęga podniesiona do potęgi:
$$\left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n}\\
\left(3^5 \right)^8=3^{5\cdot 8}=3^{40}$$
A co z dodawaniem i odejmowaniem potęg? Paradoksalnie te działania są jednocześnie bardzo proste i bardzo trudne do zrozumienia, bowiem nie da się ich opisać wzorami tak jak zrobiliśmy to w przypadku mnożenia czy dzielenia. Z tego też względu dodawanie i odejmowanie bardzo rzadko pojawia się w różnych zadaniach z potęgami.

Najprostsza sytuacja jest wtedy, kiedy dodajemy/odejmujemy identyczne potęgi. Robimy to dokładnie tak samo jak każdą inną liczbę, spójrz:
$$x+x = 2x$$
Co do powyższego działania chyba nikt nie ma wątpliwości. Podstawmy teraz za \(x\) wartość np. \(5^3\) i okaże się, że już opanowaliśmy dodawanie identycznych potęg:
$$5^3+5^3 = 2\cdot5^3$$

Czy to oznacza, że możemy dodawać do siebie tylko identyczne potęgi? Nie, ale czasem zanim wykonamy dodawanie/odejmowanie będziemy musieli zauważyć jakąś prawidłowość, która pozwoli np. wyłączyć coś przed nawias lub dane wyrażenie skrócić/uprościć. Więcej przykładów i dokładniejsze omówienie dodawania i odejmowania potęg znajdziesz w zakładce „Dodawanie i odejmowanie potęg”.

27 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
ada34

Fajna stronka można dzięki niej mieć dobre oceny – wystarczy poćwiczyć

Martynka

Niedawno szukałam w internecie stronki która pomoże mi nauczyć się potęgowania i jestem bardzo zadowolona = Gratki dla twórcy :)

ilustracja mozambiku

a co jak tylko jedna liczba ma potęgę?

Ola
Reply to  SzaloneLiczby

co oznacza ten znak ^

HakerMaker
Reply to  SzaloneLiczby

A jeśli jest (2^6)*(7^6)?
Co wtedy???

Nikola

jak masz np: 5^8+ 5= to 5+5=10 do potęgi 8

jaja di
Reply to  SzaloneLiczby

Gościu się pomylił zamiast dodawania w tym przykładzie powinno być mnożenie.

Oskar

Spoko strona, piątka

pazurkam

fajne to bo można zrozumieć samemu bez pomocy nauczyciela

no właśnie

a jak są różne podstawy i różne wykładniki?

Amelia
Reply to  SzaloneLiczby

A jeśli mam 2^-8*6^7/3^7 to jak mam to sprowadzić do wspólnych podstaw lub wykładników?

UwU

Cudowna strona!

Seboll121

Fajna str. i przydatna.

Juluś

Bardzo dobra strona szczególnie pomocna przed tegorocznymi egzaminami

nikt ciekawy

a co zrobić gdy ma się takie działanie? 3^5*4^7 kreska ułamkowa 12^4?

Anonim

gdyby było 5^3+5^3+5^3 to by się równało 3*5^3?

Nygus Chwaszczyk

Bardzo pomaga mi w nauce

kamilos

bardzo pomocna strona. Brawa dla autora

A10

Dziękuje, pomogło mi to w nauce