Działania na potęgach

Mnożenie potęg o tych samych podstawach:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\
3^8\cdot 3^4=3^{8+4}=3^{12}$$

Dzielenie potęg o tych samych podstawach:
$$a^n:a^m=a^{n-m} \quad \text{lub} \quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\
3^8:3^4=3^{8-4}=3^4 \quad \text{lub} \quad \frac{3^8}{3^4}=3^{8-4}=3^4$$

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \\
3^8\cdot 5^8=(3\cdot 5)^8$$

Dzielenie potęg o tym samym wykładniku:
$$a^n:b^n=(a:b)^n \quad \text{lub} \quad \frac{a^n}{b^n}=\left (\frac{a}{b}\right )^n \\
3^8:5^8=(3:5)^8 \quad \text{lub} \quad \frac{3^8}{5^8}=\left (\frac{3}{5}\right )^8$$

Potęga podniesiona do potęgi:
$$\left(a^m \right)^n=a^{m\cdot n}\\
\left(3^5 \right)^8=3^{5\cdot 8}=3^{40}$$

A co z dodawaniem i odejmowaniem potęg? Paradoksalnie te działania są jednocześnie bardzo proste i bardzo trudne do zrozumienia, bowiem nie da się ich opisać wzorami tak jak zrobiliśmy to w przypadku mnożenia czy dzielenia. Z tego też względu dodawanie i odejmowanie bardzo rzadko pojawia się w różnych zadaniach z potęgami.

Najprostsza sytuacja jest wtedy, kiedy dodajemy/odejmujemy identyczne potęgi. Robimy to dokładnie tak samo jak każdą inną liczbę, spójrz:
$$x+x = 2x$$
Co do powyższego działania chyba nikt nie ma wątpliwości. Podstawmy teraz za \(x\) wartość np. \(5^3\) i okaże się, że już opanowaliśmy dodawanie identycznych potęg:
$$5^3+5^3 = 2\cdot5^3$$

Czy to oznacza, że możemy dodawać do siebie tylko identyczne potęgi? Nie, ale czasem zanim wykonamy dodawanie/odejmowanie będziemy musieli zauważyć jakąś prawidłowość, która pozwoli np. wyłączyć coś przed nawias lub dane wyrażenie skrócić/uprościć. Więcej przykładów i dokładniejsze omówienie dodawania i odejmowania potęg znajdziesz w zakładce „Dodawanie i odejmowanie potęg”.