Ciąg (1, x, y-1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x, y, 12) jest geometryczny

Ciąg \((1,\;x,\;y-1)\) jest arytmetyczny, natomiast ciąg \((x,\;y,\;12)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz \(y\) i podaj ten ciąg geometryczny.

Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując:
$$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$

Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując:
$$y^2=x\cdot12 \\
y^2=12x$$

Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x=\frac{y}{2} \\
y^2=12x
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \\
y^2=6y$$

Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę):
$$y^2-6y=0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$

Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\).

Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to:
$$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Powstały nam więc dwie pary rozwiązań:
$$x=0,\quad y=0 \\
x=3,\quad y=6$$

Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.

\(x=3\), \(y=6\). Ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).