Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Jeżeli znamy współrzędne dwóch punktów to możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. W tym celu możemy posłużyć się jedną z dwóch metod: wzorem lub układem równań.

Jeżeli prosta przechodzi przez punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) to jej równanie możemy wyrazić wzorem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$

Od razu sprawdźmy jak ten wzór będzie sprawował się w praktyce.

Przykład 1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A=(2;3)\) oraz \(B=(4;7)\).

Podstawiając do wzoru współrzędne znanych nam punktów otrzymamy:
$$(y-3)(4-2)-(7-3)(x-2)=0 \\
(y-3)\cdot2-4\cdot(x-2)=0 \\
2y-6-(4x-8)=0 \\
2y-6-4x+8=0 \\
2y-4x+2=0$$

Teraz musimy doprowadzić ten nasz zapis do znanej nam postaci funkcji liniowej, czyli \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść iksy oraz liczby na prawą stronę:
$$2y-4x+2=0 \\
2y=4x-2 \\
y=2x-1$$

Udało nam się w ten sposób ustalić, że poszukiwana prosta wyraża się wzorem \(y=2x-1\).

Wbrew pozorom nie jest to wcale najszybsza metoda na wyznaczenie równania prostej. Często też pojawiają się tutaj błędy rachunkowe, zwłaszcza gdy z odejmowania \((y_{B}-y_{A})\) wyjdzie nam liczba ujemna. Czasami zdarzają się też pomyłki w podstawianiu konkretnych współrzędnych. Warto się więc przyjrzeć drugiej metodzie, która związana jest ze zbudowaniem układu równań.

Istota tej metody polega na tym, że do wzoru \(y=ax+b\) podstawimy za pierwszym razem współrzędne punktu \(A\), a za drugim razem współrzędne punktu \(B\). Powstanie nam w ten sposób układ równań, który w dodatku da się wyjątkowo szybko rozwiązać. Spójrzmy jak to będzie wyglądać na konkretnym przykładzie:

Przykład 2. Wyznacz za pomocą układu równań równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A=(2;3)\) oraz \(B=(4;7)\).

Są to dokładnie te same punkty \(A\) oraz \(B\) co w powyższym przykładzie, dlatego łatwiej będzie porównać te dwie metody. Do wzoru \(y=ax+b\) podstawiamy współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=3\) oraz punktu \(B\), czyli \(x=4\) oraz \(y=7\):
$$\begin{cases}
3=2a+b \\
7=4a+b
\end{cases}$$

Musimy teraz rozwiązać ten układ równań. Możemy zastosować dowolną metodę, każda zaprowadzi nas do końcowego wyniku, ale tutaj rozwiązanie jest wyjątkowo szybkie, bowiem wystarczy odjąć te równania stronami, pozbywając się w ten sposób współczynnika \(b\). Po odjęciu stronami otrzymamy:
$$3-7=2a-4a+b-b \\
-4=-2a \\
a=2$$

Podstawiając wyznaczoną wartość \(a=2\) do jednego z równań obliczymy wartość współczynnika \(b\):
$$3=2a+b \\
3=2\cdot2+b \\
3=4+b \\
b=-1$$

W ten oto sposób wiemy już, że \(a=2\) oraz \(b=-1\), czyli prosta \(y=ax+b\) przyjmie ostatecznie wzór \(y=2x-1\).

Na koniec omówimy sobie jeszcze jedną rzecz, a mianowicie poznamy specjalny wzór na wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\). Czasami w zadaniach nie proszą nas o wyznaczenie całego równania prostej, a jedynie o wyznaczenie współczynnika \(a\) (np. celem określenia, czy prosta jest rosnąca, czy malejąca). Oczywiście możemy ten współczynnik wyznaczyć korzystając z jednej z dwóch wcześniej poznanych metod (bo przecież w nich siłą rzeczy po drodze wyliczyliśmy ten współczynnik), ale można to zrobić nieco szybciej, korzystając ze wzoru:

$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Przykład 3. Wyznacz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej przechodzącej przez punkty \(A=(2;3)\) oraz \(B=(4;7)\).

Podstawiając do wzoru współrzędne punktów otrzymamy:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{7-3}{4-2} \\
a=\frac{4}{2} \\
a=2$$

W ten oto sposób udało nam się błyskawicznie ustalić, że współczynnik \(a=2\).

Dodaj komentarz