Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1*2*3*…*16, jest podzielny przez 2^15.

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot2\cdot3\cdot…\cdot16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).

Rozwiązanie:

W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1 \\
4=2^2 \\
6=2^1\cdot3 \\
8=2^3 \\
10=2^1\cdot5 \\
12=2^2\cdot3 \\
14=2^1\cdot7 \\
16=2^4$$

Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \\
=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \\
2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$

Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Udowodniono zapisując liczby w postaci potęg i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.