Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2014
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\frac{1}{2}\cdot2^{2014}\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(c=\log_{3}2\). Wtedy:
Zadanie 4. (1pkt) Liczba \((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2\sqrt{15}\) jest równa:
Zadanie 5. (1pkt) Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
Zadanie 6. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{x-5}{7-x}=\frac{1}{3}\) jest liczba:
Zadanie 7. (1pkt) Jeśli \(a=\frac{b}{c-b}\), to:
Zadanie 8. (1pkt) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział:
Zadanie 9. (1pkt) Największą wartością funkcji \(f\) jest:
Zadanie 10. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem \(f(x)=(x-2)(x+4)\).
Zadanie 11. (1pkt) Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-3\rangle\), może być określona wzorem:
Zadanie 12. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
Zadanie 13. (1pkt) Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równa \(35\). Pierwszy wyraz \(a_{1}\) tego ciągu jest równy \(3\). Wtedy:
Zadanie 14. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=-\frac{3^n}{4}\) dla \(n\ge1\). Iloraz tego ciągu jest równy:
Zadanie 15. (1pkt) Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(3tgα=2\). Wtedy wartość wyrażenia \(sinα+cosα\) jest równa:
Zadanie 16. (1pkt) Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(8\). Wysokość tego trójkąta jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy \(AOB\) ma miarę:
Zadanie 18. (1pkt) Odcinki \(BC\) i \(DE\) są równoległe i \(|AE|=4\), \(|DE|=3\) (zobacz rysunek). Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Długość odcinka \(BC\) jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) Dane są równania czterech prostych:
$$k:\;y=\frac{1}{2}x+5 \\
l:\;y=2x+5 \\
m:\;y=-2x+3 \\
n:\;y=2x+5$$
Prostopadłe są proste:
Zadanie 20. (1pkt) Punkt \(P=(-1,0)\) leży na okręgu o promieniu \(3\). Równanie tego okręgu może mieć postać:
Zadanie 21. (1pkt) Punkty \(A=(13,-12)\) i \(C=(15,8)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie:
Zadanie 22. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości \(4\), jest równe:
Zadanie 23. (1pkt) Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \(81\sqrt{3}\). Objętość graniastosłupa jest równa:
Zadanie 24. (1pkt) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe:
Zadanie 25. (1pkt) Średnia arytmetyczna liczb: \(x,13,7,5,5,3,2,11\) jest równa \(7\). Mediana tego zestawu liczb jest równa:
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(-x^2-5x+14\lt0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-5,\;c=14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(-1)\cdot14=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot(-1)}=\frac{5-9}{-2}=\frac{-4}{-2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot(-1)}=\frac{5+9}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą na pewno skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) pojawił nam się minus, czyli \(a\lt0\). Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe wyznaczone przed chwilą (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli miejsca w których parabola znalazła się pod osią \(Ox\). Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-7)\cup(2;+\infty)$$
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-11x+66=0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-11x+66=0 \\
x^2(x-6)-11(x-6)=0 \\
(x^2-11)(x-6)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
$$x^2-11=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\
x=\sqrt{11} \quad\lor\quad x=-\sqrt{11} \quad\lor\quad x=6$$
Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sześciany \((2n)^3=8n^3\), \((2n+2)^3=8n^3+24n^2+24n+8\) oraz \((2n+4)^3=8n^3+48n^2+96n+64\) i obliczysz ich sumę, ale nie uzasadnisz dlaczego ta suma jest podzielna przez \(24\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.
Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$
Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.
Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3 \\
\\
(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\
=8n^3+24n^2+24n+8 \\
\\
(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\
=8n^3+48n^2+96n+64$$
Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.
Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\
=24n^3+72n^2+120n+72= \\
=24(n^3+3n^2+5n+3)$$
Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).
Zadanie 29. (2pkt) Kąt \(α\) jest ostry oraz \(\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz ułamki do wspólnego mianownika i wykonasz poprawnie dodawanie tych liczb (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie za pomocą narysowanego trójkąta prostokątnego napiszesz, że \(sinα=\frac{a}{c}\), \(cosα=\frac{b}{c}\) oraz doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{4c^2c^2}{a^2b^2}=25\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.
Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:
$$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25 \\
\frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:
$$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
\frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\
4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2 \\
(cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25} \\
cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}} \\
cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$
Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).
Zadanie 30. (2pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC|\gt|BC|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\), że zachodzi równość \(|CD|=|CE|\). Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD|\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zgodnie ze swoimi oznaczeniami zapiszesz poprawnie zależności miarami kątów w trójkątach \(BEF\) i \(CDE\).
ALBO
• Gdy zgodnie ze swoimi oznaczeniami zapiszesz poprawnie zależności miarami kątów w trójkącie \(CDE\) i czworokącie \(ABED\).
Uwaga: W tym zadaniu istnieje bardzo wiele dróg do dojścia do końca rozwiązania, wszystko zależy od przyjętych założeń i oznaczeń. Możesz przyznać sobie 1 punkt gdy w jakikolwiek sposób wykorzystasz własności kątów przyległych i\lub odpowiadających i\lub naprzemianległych, ale nie uda Ci się ostateczne zakończyć dowodzenia tego zadania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)
Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).
Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\\
|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\\
|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\\
=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\\
=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β \\
|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)
Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD| \\
-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β) \\
-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) \\
-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β \\
-180°+2α+β=-180°+2α+β \\
L=P$$
Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.
Zadanie 31. (2pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=5\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z niewiadomymi \(a_{1}\) oraz \(r\), który przykładowo składa się z równań \(a_{1}+4r=22\) oraz \(a_{1}+9r=47\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}
Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$
Zadanie 32. (5pkt) Miasta \(A\) i \(B\) są oddalone o \(450km\). Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \(75\) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \(18km/h\) mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
- prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)
- prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość Pani Lidii
\(t\) - czas Pani Lidii
\(s=450\) - odległość między miastami
\(v-18\) - prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty
Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$
Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases}
450=vt \\
450=(v-18)(t+\frac{5}{4})
\end{cases}
Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \\
\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \\
\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \\
\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
v^2-18v-6480=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$
Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$
Zadanie 33. (4pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \(22\), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \(\frac{4\sqrt{6}}{5}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności tangensa zapiszesz, że \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie np. \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy \(a=20\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań składający się przykładowo z równań: \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) oraz \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy\(a=20\) (patrz: Krok 3.) oraz obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=8\sqrt{6}\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.
Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\
\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\
\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\
25a^2+96a^2=48400 \\
121a^2=48400 \\
a^2=400 \\
a=20$$
Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=20^2 \\
P_{p}=400$$
Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\
H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\
H=8\sqrt{6}$$
Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\
V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$
Zadanie 34. (4pkt) Zbiór \(M\) tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: \(1,2,3,4,5\). Ze zbioru \(M\) losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od \(20\), w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) i wypiszesz jakie są zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 1. oraz 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania lub dalej rozwiązujesz błędnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=20\) oraz podasz ile jest łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=6\) (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Pierwszą cyfrę możemy dobrać na pięć różnych sposobów (bo wybierzemy jedną z pięciu cyfr). Dobierając drugą cyfrę mamy już nieco mniejszy wybór, bo druga liczba zgodnie z treścią zadania nie może się powtarzać z pierwszą. W związku z tym w drugim losowaniu mogę otrzymać jedną z czterech cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli w tym przypadku wszystkich liczb dwucyfrowych w zbiorze \(M\)) będzie:
$$|Ω|=5\cdot4=20$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w naszym przypadku każda liczba, która jest większa od \(20\) i która jednocześnie ma cyfrę dziesiątek mniejszą od cyfry jedności. Wypiszmy więc sobie te liczby:
$$A=\{23,24,25,34,35,45\}$$
Jak widzimy takich liczb jest tylko sześć, zatem \(|A|=6\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$
Poprzednie
Zakończ
Następne
wspaniała sprawa, można się dużo nauczyć przed maturą. Super że takie coś jest.
Podziękowania dla tej osoby.