Basen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m

Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.



Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:

$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\

0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$



Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.

matura z matematyki



Zadanie 1. Największa głębokość basenu jest równa:

A. \(5,4 m\)

B. \(3,6 m\)

C. \(2,2 m\)

D. \(1,8 m\)



Zadanie 2. Oblicz wartość współczynnika \(a\) oraz wartość współczynnika \(b\).

Rozwiązanie

Odpowiedź 1.
Zgodnie z zapisem funkcji, głębokość basenu na długości \(25m\) obliczymy ze wzoru \(y=0,18x-0,9\). Podstawiając zatem \(x=25\), otrzymamy:
$$y=0,18x-0,9 \\
y=0,18\cdot25-0,9 \\
y=4,5-0,9 \\
y=3,6[m]$$

To oznacza, że największa głębokość basenu jest równa \(3,6m\).

Odpowiedź 2.
Z treści zadania wynika, że w najpłytszym miejscu głębokość basenu jest równa \(1,2m\). Czyli moglibyśmy powiedzieć, że dla \(x=0\) ta funkcja przyjmuje wartość \(y=1,2\). Skoro tak, to podstawiając te dane do wzoru \(y=ax+b\), otrzymamy:
$$1,2=a\cdot0+b \\
b=1,2$$

To oznacza, że pierwszy wzór z funkcji przybiera postać \(y=ax+1,2\).

Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(a\). Z całego wzoru wynika, że dla \(x=15\) funkcja może być opisana jednym i drugim wzorem (czyli z jednego i drugiego wzoru wyjdzie nam wtedy ta sama wartość) i to będzie właśnie nasz punkt zaczepienia. Korzystając ze wzoru \(y=0,18x-0,9\), spróbujmy obliczyć głębokość basenu dla \(x=15\):
$$y=0,18\cdot15-0,9 \\
y=2,7-0,9 \\
y=1,8$$

Otrzymaną głębokość musimy także otrzymać gdy podstawimy \(x=15\) do wyznaczonej postaci \(y=ax+1,2\), zatem:
$$1,8=a\cdot15+1,2 \\
0,6=15a \\
a=0,04=\frac{1}{25}$$

To oznacza, że \(a=\frac{1}{25}\) oraz \(b=1,2\).

Odpowiedź

1. B
2. \(a=\frac{1}{25}\) oraz \(b=1,2\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments