Matura podstawowa Równania trzeciego i wyższego stopnia – zadania maturalne Uwaga! Zadanie numer 3 nie obowiązuje na maturze 2021 :) Równania trzeciego i wyższego stopnia - zadania Zadanie 1. (1pkt) Równanie \((x+5)(x-3)(x^2+1)=0\) ma: A) dwa rozwiązania: \(x=-5,\;x=3\) B) dwa rozwiązania: \(x=-3,\;x=5\) C) cztery rozwiązania: \(x=-5,\;x=-1,\;x=1,\;x=3\) D) cztery rozwiązania: \(x=-3,\;x=-1,\;x=1,\;x=5\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero: $$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0 \\ x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\ x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$ Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\). Zadanie 2. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(x^2(x+1)=x^2-8\) jest: A) \(-9\) B) \(-2\) C) \(2\) D) \(7\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: $$x^2(x+1)=x^2-8 \\ x^3+x^2=x^2-8 \\ x^3=-8 \\ x=-2$$ Zadanie 3. (1pkt) Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x\lt-2\), jest: A) \(1\) B) \(-1\) C) \(2\) D) \(-2\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy: A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\) B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\) C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\) D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\) Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\). Zadanie 4. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x(x^2-2x+3)=0\). Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(x=0\) Wyjaśnienie: Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania. Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera: $$x(x^2-2x+3)=0 \\ x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$ Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty. Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc: Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\) $$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników. Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania. Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty. 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik. Zadanie 5. (2pkt) Rozwiąż równanie \((4-x)(x^2+2x-15)=0\). Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\) Wyjaśnienie: Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań. Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że: $$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań. Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste: $$4-x=0 \\ x=4$$ Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\) $$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\ \sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$ Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\). Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\). ALBO • Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań. 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik. Zadanie 6. (1pkt) Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0\), wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa: A) \(12\) B) \(10\) C) \(6\) D) \(4\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania. Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem: $$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\ x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\ x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$ Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać. Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb. Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).
świetna robota!!