Równania trzeciego i wyższego stopnia – zadania maturalne

A

Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero:
$$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0 \\
x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\).

B

$$x^2(x+1)=x^2-8 \\
x^3+x^2=x^2-8 \\
x^3=-8 \\
x=-2$$

C

Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy:
A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\)
B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\)
C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\)
D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\)

Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).

\(x=0\)

Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0 \\
x=4$$

Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania.
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\
x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\
x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać.

Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb.
Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).