Równania trzeciego i wyższego stopnia – zadania maturalne

A

Równanie jest przedstawione w formie iloczynowej, tak więc aby całość była równa zero, to tak naprawdę wyrażenie w którymś z nawiasów musi być równe zero:
$$(x+5)(x-3)(x^2+1)=0 \\
x+5=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która dałaby wynik ujemny, to z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że to całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=3\).

C

Krok 1. Obliczenie stopnia wielomianu \(Q(x)\).
Stopień wielomianu to tak naprawdę jego najwyższa potęga jaka pojawia się w danym zapisie. W przypadku \(W(x)\) mamy drugi stopień wielomianu (bo pojawia się \(x^2\)), a \(P(x)\) jest wielomianem trzeciego stopnia (bo mamy \(x^3\)). Musimy poznać jeszcze stopień wielomianu \(Q(x)\):
$$Q(x)=(1-x)(x+1) \\
Q(x)=x+1-x^2-x \\
Q(x)=-x^2+1$$

Czyli \(Q(x)\) jest wielomianem drugiego stopnia.

Krok 2. Obliczenie stopnia iloczynu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\).
Nie musimy wymnażać przez siebie wszystkich wyrazów, aby poznać rozwiązanie tego zadania. Wystarczy wymnożyć przez siebie tylko te wyrazy z najwyższymi potęgami w każdym z wielomianów. Cała reszta nas nie interesuje. Zatem:
$$2x^2\cdot x^3\cdot(-x^2)=-2x^{2+3+2}=-2x^7$$

To oznacza, że powstanie nam wielomian siódmego stopnia.

B

$$x^2(x+1)=x^2-8 \\
x^3+x^2=x^2-8 \\
x^3=-8 \\
x=-2$$

C

Z racji tego iż mamy tutaj podaną nierówność piątego stopnia, to na poziomie podstawowym naszym zadaniem jest jedynie sprawdzenie która z liczb spełnia tę nierówność. Cała trudność tego zadania polega tutaj na tym by nie pogubić się w minusach i by rozróżniać zapis typu \(-x^5\) od zapisu \((-x)^5\), bo to są dwa różne zapisy. Podstawiając każdą z liczb otrzymamy:
A. dla \(x=1\) mamy \(-1^5+1^3-1=-1+1-1=-1\)
B. dla \(x=-1\) mamy \(-(-1)^5+(-1)^3-(-1)=-(-1)-1+1=1-1+1=1\)
C. dla \(x=2\) mamy \(-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26\)
D. dla \(x=-2\) mamy \(-(-2)^5+(-2)^3-(-2)=-(-32)-8+2=32-8+2=26\)

Wynik mniejszy od \(-2\) otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\).

\(x=0\)

Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\)

Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0 \\
x=4$$

Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania.
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \\
x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \\
x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać.

Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb.
Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).