W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30 stopni

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30°\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60°\) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), powstanie nam następująca sytuacja:
matura z matematyki

Kluczowym wnioskiem jaki płynie z tego rysunku jest to, że trójkąt \(DBC\) jest równoramienny, w którym \(|CD|=BD|\). To obserwacja znacząco ułatwia rozwiązanie zadania, ponieważ długość odcinka \(CD\) jesteśmy w stanie podać niemalże od ręki, korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\) oraz \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°,60°,90°\). Z własności tych trójkątów wiemy, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, a to by oznaczało, że:
$$|CD|=2\cdot6 \\
|CD|=12$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy już, że boki \(CD\) oraz poszukiwany \(BD\) mają jednakową miarę, zatem \(|BD|=12\).

Odpowiedź

\(|BD|=12\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments