Prędkość, droga, czas

Wzór na prędkość to stosunek drogi do czasu, który możemy opisać wzorem:
$$v=\frac{s}{t}$$

Choć stosowanie tego wzoru wydaje się dość proste, to jest kilka pułapek na które możemy niestety wpaść. Zanim jednak przejdziemy do zadań, to spróbujmy zrozumieć czym tak naprawdę jest ten zapisany wzór \(v=\frac{s}{t}\) na którym opierają się zadania z tego działu. Ten wzór mówi nam, że średnia prędkość jazdy zależy od dwóch elementów – od tego jaką odległość pokonujemy i od czasu w jakim ta odległość została pokonana. W jakich jednostkach będziemy wyrażać prędkość? Najczęściej wyrażamy ją w \(\frac{km}{h}\) (czyli kilometrach na godzinę) oraz \(\frac{m}{s}\) (czyli metrach na sekundę), aczkolwiek możemy tworzyć także inne jednostki w zależności od tego w jakiej jednostce zapiszemy drogę i w jakiej jednostce zapiszemy czas.

To co jest istotne, to fakt że ten wzór na prędkość możemy także przekształcać i dzięki temu uzyskamy wzór na drogę oraz na czas. Jeśli nie czujesz się pewnie w przekształcaniu wzorów, to tę wiedzę możesz nadrobić tutaj:

Przekształcenie wzoru na prędkość na wzór na drogę (\(s\)):
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
s=v\cdot t$$

Przekształcenie wzoru na prędkość na wzór na czas (\(t\)):
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
v\cdot t=s \quad\bigg/:v \\
t=\frac{s}{v}$$

Przejdźmy zatem do obliczeń i zadań, zaczynając od czegoś bardzo prostego.

Przykład 1. Obliczyć średnią prędkość jazdy samochodu, który dystans \(100km\) pokonał w \(2\) godziny.

Wypiszmy najpierw dane z treści zadania:
$$s=100km \\
t=2h$$

Zgodnie z zapisanym na początku wzorem otrzymamy:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{100km}{2h} \\
v=50\frac{km}{h}$$

W ten oto sposób obliczyliśmy, że średnia prędkość jazdy wyniosła \(50\frac{km}{h}\).

Przykład 2. Oblicz średnią prędkość jazdy samochodu, który dystans \(30km\) pokonał w \(15\) minut. Wynik podaj w \(\frac{km}{h}\).

Zadanie bardzo podobne do poprzedniego, ale tym razem musimy podać wynik w konkretnej jednostce. Jeżeli licząc prędkość podzielimy sobie \(30km\) przez \(15\) minut (czyli zgodnie ze wzorem), to otrzymamy prędkość w jednostce \(\frac{km}{min}\). To nas nie zadowala, dlatego też najlepszym wyjściem byłaby zamiana minut na godziny. Godzina ma \(60\) minut, zatem \(15\) minut stanowi \(\frac{15}{60}\) godziny, czyli \(\frac{1}{4}\) godziny. Zapiszmy zatem, że:
$$s=30km \\
t=15min=\frac{1}{4}h$$

Teraz możemy obliczyć prędkość, otrzymując oczekiwaną jednostkę:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{30km}{\frac{1}{4}h} \\
v=30km:\frac{1}{4}h \\
v=30km\cdot4\frac{1}{h} \\
v=120\frac{km}{h}$$

Przykład 3. Jaką drogę pokonał biegacz jeżeli przez \(30\) minut biegł z prędkością \(12\frac{km}{h}\)?

Tym razem prędkość jest nam znana \(v=12\frac{km}{h}\), znamy też czas \(t=30min\), a naszym zadaniem jest policzenie drogi, którą pokonał biegacz. Na pewno więc skorzystamy z przekształcenia do postaci \(s=vt\), ale podstawienie danych z treści zadania to nie wszystko co musimy zrobić, bowiem ukryta jest tutaj pewna mała pułapka.

W zadaniach gdzie obliczamy drogę lub czas musimy być bardzo ostrożni jeśli chodzi o jednostki. Prędkość jaką mamy podaną w treści zadania jest wyrażona w jednostce \(\frac{km}{h}\). Nie do końca pasuje nam to z podaną jednostką czasu, bo ta jest wyrażona w minutach. Musimy więc albo zamienić jednostkę prędkości z \(\frac{km}{h}\) na \(\frac{km}{min}\) albo (co będzie znacznie prostsze) zamienić podany czas z \(30\) minut na \(\frac{1}{2}h\). Do obliczeń przyjmiemy zatem:
$$v=12\frac{km}{h} \\
t=30min=\frac{1}{2}h$$

Dopiero teraz możemy przystąpić do obliczeń:
$$\require{cancel}s=vt \\
s=12\frac{km}{\cancel{h}}\cdot\frac{1}{2}\cancel{h} \\
s=6km$$

Dodaj komentarz