Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2023 (stara matura)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$5-x^2\gt3x+1 \\
-x^2-3x+4\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-3,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot(-1)\cdot4=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot(-1)}=\frac{3-5}{-2}=\frac{-2}{-2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot(-1)}=\frac{3+5}{-2}=\frac{8}{-2}=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=1\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-4;1)$$

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca własność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2} \\
x^2=\frac{2x^2+5x+20}{2} \\
2x^2=2x^2+5x+20 \\
0=5x+20 \\
-20=5x \\
x=-4$$

Krok 1. Rozpisanie nierówności.
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie rozbicie \(-10y^2\) na sumę \(-4y^2\) oraz \(-6y^2\), a następnie odpowiednie pogrupowanie wyrazów. Obliczenia wyglądałyby następująco:
$$x^2+3xy-10y^2\gt0 \\
x^2+3xy-4y^2-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3xy-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3y(x-2y)\gt0$$

Wyrażenie \(x^2-4y^2\) możemy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) rozpisać jako \((x-2y)(x+2y)\). Wracając więc do naszego przykładu, otrzymamy postać:
$$(x-2y)(x+2y)+3y(x-2y)\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\gt2y\), czyli że \(x-2y\gt0\). Spójrzmy teraz na naszą nierówność:
· w pierwszym nawiasie mamy \(x-2y\), co jak przed chwilą zapisaliśmy, musi być liczbą dodatnią;
· w drugim nawiasie mamy \(x+2y\) i to także jest wartość dodatnia, ponieważ z treści zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie;
· następnie mamy \(+3y\), które także będzie dodatnie, bo \(y\) jest dodatni;
· i w ostatnim nawiasie ponownie mamy \(x-2y\), co jak już ustaliliśmy, będzie dodatnie.

Po lewej stronie mamy więc sytuację, w której mnożymy przez siebie dwie liczby dodatnie i dodajemy do tego iloczyn kolejnych dwóch dodatnich liczb. Otrzymany wynik będzie zatem na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.

Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
$$x=4:2 \\
x=2$$

Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
$$a=2+6+2 \\
a=10$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy klasyczne równanie wymierne, które w mianowniku ma niewiadomą \(x\). Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), musimy zapisać założenia do naszego równania. Mianowniki naszych ułamków nie mogą być równe \(0\), stąd też zapisalibyśmy, że:
$$3x-2\neq0 \quad\land\quad 2x\neq0 \\
3x\neq2 \quad\land\quad x\neq0 \\
x\neq\frac{2}{3} \quad\land\quad x\neq0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Są różne podejścia do takich równań, ale najprościej będzie chyba wykonać tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$(2x-3)\cdot2x=(3x-2)\cdot1 \\
4x^2-6x=3x-2 \\
4x^2-9x+2=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam teraz delta:
Współczynniki: \(a=4,\;b=-9,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=81-32=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-7}{2\cdot4}=\frac{9-7}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+7}{2\cdot4}=\frac{9+7}{8}=\frac{16}{8}=2$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, więc dopiero teraz możemy zapisać, że rozwiązaniami tego równania będą \(x=\frac{1}{4}\) oraz \(x=2\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest bez zwracania (czyli pierwsze losowanie jest spośród pięciu liczb, a drugie już tylko spośród czterech). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by obydwie wylosowane liczby były nieparzyste. Takich par nie jest dużo, możemy je nawet wypisać:
$$(1;3), (1;5) \\
(3;1), (3;5) \\
(5;1), (5;3)$$

To oznacza, że tylko sześć par spełnia warunki zadania, stąd też możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania dobrze jest rozpocząć od narysowania przynajmniej szkicu całej sytuacji. Trójkąt \(ABC\) wraz z symetralną będzie wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna przechodzi zawsze przed środek odcinka, stąd też chcemy poznać jakie współrzędne ma środek odcinka \(AB\). W tym celu skorzystamy ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

I tu taka mała podpowiedź - aby ułatwić sobie obliczenia, można byłoby współrzędne punktu \(A\) zapisać w postaci ułamków dziesiętnych \(A=\left(4,4;\;-4,2\right)\). Pozwoli nam to wykonać szybkie i sprawne obliczenia na kalkulatorze:
$$S=\left(\frac{4,4+6}{2};\frac{-4,2+7}{2}\right) \\
S=\left(\frac{10,4}{2};\frac{2,8}{2}\right) \\
S=\left(5,2;\;1,4\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy wyznaczyć wręcz pełne równanie prostej \(AB\). Nam jednak wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego \(a\), bo to on przyda nam się później do zapisania równania symetralnej, która jest prostą prostopadłą. Możemy oczywiście wyznaczyć ten współczynnik budując odpowiedni układ równań, ale prościej i szybciej będzie skorzystać ze wzoru na współczynnik \(a\), zatem:
$$a=\frac{7-1,4}{6-5,2} \\
a=\frac{5,6}{0,8} \\
a=7$$

Krok 4. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) (czyli prostej \(SD\)).
Symetralna odcinka \(AB\) jest prostą prostopadłą do tego boku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AB\) ma ten współczynnik \(a=7\), to symetralna będzie miała współczynnik \(a=-\frac{1}{7}\), bo \(7\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że prosta symetralna będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{1}{7}+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając współrzędne punktu \(S\) do tego równania, zatem:
$$1,4=-\frac{1}{7}\cdot5,2+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{1}{7}\cdot\frac{26}{5}+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{26}{35}+b \\
\frac{49}{35}=-\frac{26}{35}+b \\
b=\frac{75}{35}=2\frac{5}{35}=2\frac{1}{7}$$

To oznacza, że prosta symetralna wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Do wyznaczenia miejsca przecięcia się symetralnej z prostą \(BC\) potrzebujemy równania prostej \(BC\). Znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\), więc możemy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic maturalnych, albo też z tradycyjnej metody układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, zatem podstawmy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\) do postaci \(y=ax+b\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
7=6a+b \\
2=-9a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$5=15a \\
a=\frac{1}{3}$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(a=\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), obliczymy brakujący współczynnik \(b\), zatem:
$$7=6\cdot\frac{1}{3}+b \\
7=2+b \\
b=5$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+5\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne punktu \(D\) poznamy rozwiązując układ równań, który składa się z dwóch prostych przecinających się w tym punkcie - czyli w naszym przypadku będą to symetralna odcinka oraz prosta \(BC\). Musimy zatem rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7} \\
y=\frac{1}{3}x+5
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}=\frac{1}{3}x+5 \quad\bigg/\cdot21 \\
-3x+45=7x+105 \\
-10x=60 \\
x=-6$$

Podstawiając teraz współrzędną \(x=-6\) do wybranego równania z układu (np. drugiego), obliczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=\frac{1}{3}\cdot(-6)+5 \\
y=-2+5 \\
y=3$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(D=(-6,3)\).