Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści

Z dwóch miast \(A\) i \(B\), odległych od siebie o \(18\) kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta \(A\) o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta \(B\). Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta \(B\) jeszcze \(1,5\) godziny, drugi zaś szedł jeszcze \(4\) godziny do miasta \(A\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Wypisanie danych z zadania.

Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) – prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) – prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) – czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)

Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) – trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) – trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) – wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)

Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).

Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$

Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.

Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases}
v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\
1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)
\end{cases}

To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:

$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5} \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$

Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3) \\
18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3) \\
(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3) \\
18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81 \\
18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18 \\
t^2-t-6=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.

W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right] \\
v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$

Odpowiedź:

Prędkość pierwszego wędrowca wyniosła \(4\frac{km}{h}\), a drugiego \(3\frac{km}{h}\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.