Z dwóch miast \(A\) i \(B\), odległych od siebie o \(18\) kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta \(A\) o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta \(B\). Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta \(B\) jeszcze \(1,5\) godziny, drugi zaś szedł jeszcze \(4\) godziny do miasta \(A\).
Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) – prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) – prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) – czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)
Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) – trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) – trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) – wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)
Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).
Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$
Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$
Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases}
v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\
1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)
\end{cases}
To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5} \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$
Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3) \\
18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3) \\
(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3) \\
18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81 \\
18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18 \\
t^2-t-6=0$$
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).
W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right] \\
v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$
Prędkość pierwszego wędrowca wyniosła \(4\frac{km}{h}\), a drugiego \(3\frac{km}{h}\).
