Wyznacz zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja kwadratowa f(x)=1/2x^2+2x+2 przyjmuje większe wartości

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których funkcja kwadratowa \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+2\) przyjmuje większe wartości niż funkcja liniowa \(g(x)=-x+2\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie nierówności kwadratowej.
Skoro funkcja \(f(x)\) ma przyjmować większe wartości niż funkcja \(g(x)\), to musi zajść następująca nierówność:
$$\frac{1}{2}x^2+2x+2\gt-x+2 \\
\frac{1}{2}x^2+3x\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\
x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+6x\) jest równe \(0\), zatem:
$$x^2+6x=0 \\
x\cdot(x+6)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=-6\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$

Odpowiedź

\(x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)\)

Dodaj komentarz