Ciąg geometryczny - zadania
Zadanie 3. (1pkt) W malejącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\) mamy: \(a_{1}=-2\) i \(a_{3}=-4\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A. \(-2\)
B. \(2\)
C. \(-\sqrt{2}\)
D. \(\sqrt{2}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
-4=(-2)\cdot q^{2} \\
q^2=2 \\
q=\sqrt{2} \quad\lor\quad q=-\sqrt{2}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg geometryczny jest malejący, ale to nie oznacza, że iloraz tego ciągu jest ujemny!
Gdyby iloraz \(q\) był liczbą ujemną, to ciąg ten ciąg miałby naprzemiennie wyrazy dodatnie i ujemne. Możemy to sobie nawet sprawdzić na naszych rozwiązaniach, które przed chwilą otrzymaliśmy. Jeśli \(q=-\sqrt{2}\) oraz \(a_{1}=-2\), to mamy ciąg:
$$-2,\quad2\sqrt{2},\quad-4,\quad4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$
Wartość ilorazu musi być więc w naszym przypadku dodatnia. Jeśli \(q=\sqrt{2}\), wtedy kolejnymi wyrazami tego ciągu będą:
$$-2,\quad-2\sqrt{2},\quad-4,\quad-4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$
Zadanie 23. (4pkt) Ciąg \((1,\;x,\;y-1)\) jest arytmetyczny, natomiast ciąg \((x,\;y,\;12)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz \(y\) i podaj ten ciąg geometryczny.
Odpowiedź
\(x=3\), \(y=6\). Ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując:
$$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując:
$$y^2=x\cdot12 \\
y^2=12x$$
Krok 3. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x=\frac{y}{2} \\
y^2=12x
\end{cases}
Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \\
y^2=6y$$
Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę):
$$y^2-6y=0$$
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$
$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(x\).
Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\).
Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to:
$$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$
Powstały nam więc dwie pary rozwiązań:
$$x=0,\quad y=0 \\
x=3,\quad y=6$$
Krok 6. Weryfikacja otrzymanych wyników i podanie ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz pojedyncze równania, które wykorzystuje jakieś własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), przez co zakończysz rozwiązywanie zadania z równaniem, które posiada dwie niewiadome.
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań, który pozwoli na wyznaczenie wartości niewiadomych \(x\) oraz \(y\) (patrz: Krok 3).
ALBO
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 4.), ale np. nie dokonasz weryfikacji wyników i nie odrzucisz błędnego rozwiązania
ALBO
• Gdy poprawnie wyznaczysz tylko jedną z niewiadomych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale uzyskasz błędną odpowiedź w wyniku błędów rachunkowych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz o zapisaniu ciągu geometrycznego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik oraz zapiszesz ciąg geometryczny.
Zadanie 24. (2pkt) Liczby \(64,\;x,\;4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
Odpowiedź
\(a_{5}=\frac{1}{4}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
x^2=64\cdot4 \\
x^2=256 \\
x=16 \quad\lor\quad x=-16$$
Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).
Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\
a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\
a_{5}=64\cdot\frac{1}{256} \\
a_{5}=\frac{1}{4}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 25. (4pkt) Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Odpowiedź
\(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{9+19}{2} \\
x=\frac{28}{2} \\
x=14$$
Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{42}{14} \\
q=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \\
y=14\cdot3^2 \\
y=14\cdot9=126 \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \\
z=14\cdot3^3 \\
z=14\cdot27=378$$
Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).
Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie pomylisz własności ciągów.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego np. \(x=\frac{9+19}{2}\) albo wręcz obliczysz wartość \(x=14\) (patrz: Krok 1).
ALBO
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu geometrycznego np. \(42^2=xy\) albo \(y^2=42z\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równania wykorzystujące zarówno własności ciągu arytmetycznego jak i geometrycznego, ale nie powiążesz ich ze sobą i przez to nie rozwiążesz całego zadania.
3 pkt
• Gdy obliczysz iloraz \(q\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz niewiadomą \(y\) (patrz: Krok 3.), ale nie obliczysz niewiadomej \(z\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (2pkt) Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=7\cdot3^{n+1}\), dla \(n\ge1\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Aby obliczyć iloraz ciągu potrzebujemy znać wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Obliczmy więc wartość pierwszego i drugiego wyrazu, podstawiając odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=7\cdot3^{1+1} \\
a_{1}=7\cdot3^{2} \\
a_{1}=7\cdot9 \\
a_{1}=63$$
$$a_{2}=7\cdot3^{2+1} \\
a_{2}=7\cdot3^{3} \\
a_{2}=7\cdot27 \\
a_{2}=189$$
Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) tego ciągu.
Znamy już wartości dwóch kolejnych wyrazów, więc możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{189}{63} \\
q=3$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz dwa kolejne wyrazy tego ciągu np. pierwszy i drugi (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz, że np. \(a_{2}=a_{1}\cdot q\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{n}=63\cdot3^{n-1}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 27. (5pkt) W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$
Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$
Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę \(n\)-początkowych wyrazów i utworzysz za jego pomocą równanie z dwiema niewiadomymi np. \(11a_{1}+55r=187\) (patrz: Krok 2.) albo \(\frac{2a_{1}+10r}{2}\).
ALBO
• Gdy do ułożenia równania wykorzystasz wzór na średnią arytmetyczną i utworzysz w ten sposób równanie z dwiema niewiadomymi np. \(a_{1}+\frac{10}{3}r=12\).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
2 pkt
• Gdy zgodnie do wybranego sposobu obliczeń utworzysz układ równań (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz \(a_{1}=2\) i \(r=3\) oraz gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 28. (4pkt) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
18=a_{1}+4r \\
a_{1}=18-4r$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=18-4r+2r \\
a_{3}=18-2r \\
\text{oraz} \\
a_{13}=a_{1}+12r \\
a_{13}=18-4r+12r \\
a_{13}=18+8r$$
W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13} \\
(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r) \\
\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2 \\
36r^2-144r=0$$
Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0 \\
36r(r-4)=0 \\
36r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$
I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).
Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r \\
a_{1}=18-4\cdot4 \\
a_{1}=18-16 \\
a_{1}=2$$
Krok 6. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot4 \\
a_{n}=2+4n-4 \\
a_{n}=4n-2$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wzory na poszczególne wyrazy ciągu arytmetycznego, gdzie niewiadomą jest jedynie różnica ciągu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od \(a_{5}\), czyli \(a_{1}=a_{5}-4r\), \(a_{3}=a_{5}-2r\) oraz \(a_{13}=a_{5}+8r\)
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci np. \(36r^2-144r=0\) (patrz: Krok 3.) lub \((18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=4\) lub \(r=0\) i rozwiązując zadanie dalej nie odrzucisz \(r=0\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu, czyli \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Dziękuje!
Super! Dziękuję za pomoc!
Mam pytanie? To są zadania z matur czy ty sam układasz te zadania?
W dziale „Zadania maturalne” są zadania wprost z matur :) Moje własne zadania są natomiast np. w sprawdzianach (dział Sprawdziany).
Fajne zadania!
Czy zadanie 28. jest, aby na pewno dobrze zrobione, bo dla sprawdzenia obliczyłem ilorazy w tym ciągu i 10/2=5 30/10=3 ?
Ale chwila chwilunia :D Z tego co widzę, to do obliczeń bierzesz takie liczby jak 10 oraz 30, czyli trzeci i trzynasty wyraz ciągu geometrycznego :) Nie możesz obliczyć ilorazu ciągu dzieląc a13 przez a3, dlatego wychodzi Ci zły wynik :)
Nie mogę tak zrobić, nawet gdy w zadaniu jest napisane, że są to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego? :D
Ale Ty nie policzyłeś a1, a3 oraz a13 ciągu arytmetycznego (które są jednocześnie trzema pierwszymi wyrazami ciągu geometrycznego), tylko policzyłeś a1, a3 oraz a13 ciągu geometrycznego :D
przygotowuję się własnie do matury z matmy i chyba nie mogłem lepiej trafić niż na tę stronę :)
mam pytanie, dlaczego w 1 i 2 zadaniu a4 się dzieli przez a1, zamiast je odjąć?
Bo to ciąg geometryczny, nie arytmetyczny
Dlaczego w 1. zadaniu wychodzi – jedna ósma? jakk!!
Jak podzielisz obie strony przez 32 to otrzymasz -4/32, czyli właśnie -1/8 :)
Mam pytanie. W zadaniu 1 pod an jest podstawione – 4, a dlaczego już pod n, które jest potęgą q jest to 4 (dlaczego nie jest też na -)?
Inaczej to się odbywa :) Nie podstawiamy jako tako pod an wartości -4. Opiszę może tak, abyś to zrozumiał. Podstawiamy do wzoru n=4, dzięki czemu nie mamy już an=a1*q^n-1, czyli a4=a1*q^4-1, czyli a4=a1*q^3. I dopiero teraz pod a4 podstawiamy -4 :)
dlaczego w 27 zadaniu w tej ostatniej fazie rozwiązywania zadania nie można było pomnożyć 8 przez q, które wyszło 4 i by wyszło że k=32, tylko trzeba z własności ciągu geometrycznego?
Jak pomnożysz 8 razy q, które jest równe 4, to otrzymasz informację, że wartość tego poszukiwanego wyrazu jest równa 32. Ale my nie szukamy wartości tego wyrazu, tylko chcemy się dowiedzieć który to z kolei jest wyraz. Jak już dojdziesz do tego, że ak=32, to wystarczy teraz skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wyjdzie nam wtedy, że a1+(n-1)r=32, a skoro a1=2 oraz r=3, to otrzymamy 2+3n-3=32. Rozwiązaniem tego równania będzie n=11 i to będzie nasze k :)
Mógłbyś mi proszę wytłumaczyć skąd w zadaniu 22 z q8 = 4 zrobiło się q4=2 ? nie za bardzo to rozumiem :(
Wyciągamy pierwiastek z lewej i prawej strony równania. Pierwiastek z q^8 to jest q^4, a pierwiastek z 4 to po prostu 2 :) Gdybyś się zastanawiał/a dlaczego pierwiastek z q^8 to akurat a^4 to z pomocą mogą przyjść nam działania na potęgach i pierwiastkach. Pierwiastek z q^8 możemy zapisać jako q^8, który jest jeszcze podniesiony do potęgi 1/2. Podnosząc potęgę do potęgi mnożymy wykładniki potęg, więc mamy 8*1/2 czyli właśnie 4 :)
Dziękuję bardzo! Teraz już rozumiem :)
bardzo dziękuję zadania pozwalają powtórzyć dział
Robię już kolejny zestaw z ciągów. Świetne zadanka i strona. Na pewno moje szanse na pozytywny wynik z matury, Pozdrawiam 23.02.2022 :)
dzień przed atakiem na kraj na Ukrainę
Bardzo dziękuję! Dzięki Tobie zdam maturę
W zadaniu 27 jest błąd. Przy obliczaniu S11 2a1+10r/2 nie można podzielić przez 2 sprowadzając to do a1+5r ponieważ jest dodawanie.
Można ;) Tylko właśnie przez 2 trzeba podzielić każdy składnik tej sumy znajdującej się w liczniku, co oczywiście uczyniłem ;)
kiedy przy obliczaniu ilorazu mam używać poszczególnych wzorów. Bo czasami używają tego na enty wyraz, a czasem q= an/an-1.
To zależy co chcesz policzyć i jakie masz dane ;) Wzór na „enty wyraz” to jedna sprawa, a wzór na iloraz „q” to coś zupełnie innego – czasem chcesz policzyć wartość jakiegoś wyrazu, a czasem iloraz, a czasem jedno i drugie ;)