Ciąg geometryczny – zadania maturalne

C

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, zatem możemy podstawić \(n=4\) i dzięki temu jedyną niewiadomą w tym wzorze będzie poszukiwany iloraz ciągu. W związku z tym:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
-4=32\cdot q^3 \\
q^3=-\frac{1}{8} \\
q=-\frac{1}{2}$$

B

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość ilorazu \(q\), a do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Korzystając z tego wzoru możemy podstawić podstawić nasze dane z zadania i otrzymamy:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{3} \\
\frac{a_{4}}{a_{1}}=q^{3} \\
q^{3}=\frac{24}{3} \\
q^{3}=8 \\
q=2$$

D

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
-4=(-2)\cdot q^{2} \\
q^2=2 \\
q=\sqrt{2} \quad\lor\quad q=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg geometryczny jest malejący, ale to nie oznacza, że iloraz tego ciągu jest ujemny!

Gdyby iloraz \(q\) był liczbą ujemną, to ciąg ten ciąg miałby naprzemiennie wyrazy dodatnie i ujemne. Możemy to sobie nawet sprawdzić na naszych rozwiązaniach, które przed chwilą otrzymaliśmy. Jeśli \(q=-\sqrt{2}\) oraz \(a_{1}=-2\), to mamy ciąg:
$$-2,\quad2\sqrt{2},\quad-4,\quad4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

Wartość ilorazu musi być więc w naszym przypadku dodatnia. Jeśli \(q=\sqrt{2}\), wtedy kolejnymi wyrazami tego ciągu będą:
$$-2,\quad-2\sqrt{2},\quad-4,\quad-4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

B

Krok 1. Wyznaczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (czyli \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\)) możemy wyznaczyć wartość \(q\) z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{12}{2}=6$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości czwartego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając wartosć \(a_{1}\) oraz \(q\) możemy obliczyć wartość czwartego wyrazu ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 6^{4-1} \\
a_{4}=2\cdot6^3 \\
a_{4}=2\cdot216 \\
a_{4}=432$$

D

Krok 1. Obliczenie parametru \(q\).
Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\).

Tak więc:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \\
1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \\
1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4} \\
a_{1}=\frac{9}{4}$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu ciągu geometrycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}} \\
q=\frac{15}{5} \\
q=3$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu.
Skoro znamy czwarty wyraz tego ciągu oraz iloczyn \(q\) to piąty wyraz możemy obliczyć już niemalże w pamięci, bo wystarczyłoby te dwie liczby przez siebie pomnożyć, czyli wykonać działanie \(15\cdot3=45\).

Gdybyśmy chcieli zapisać to matematycznie (co może się przydać Ci przy innych zadaniach) to można byłoby tu zastosować następujący wzór:
$$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$

Za pomocą tego wzoru obliczymy wartość \(n\)-tego wyrazu ciągu, jeśli znamy wartość dowolnego innego wyrazu tego ciągu (\(k\)) oraz jeśli znamy iloczyn tego ciągu. Zatem:
$$a_{5}=a_{4}\cdot q^{5-4} \\
a_{5}=15\cdot 3^1 \\
a_{5}=45$$

A

Znając wartości drugiego i trzeciego wyrazu ciągu możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu \(q\), a następnie każdy dowolny wyraz tego ciągu. My w tym zadaniu jednak skorzystamy z dużo prostszej metody, która mówi o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Dzięki temu unikniemy trudnych obliczeń na pierwiastkach i liczbach ujemnych.

Korzystając z opisanej zależności otrzymujemy równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \\
\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}a_{1} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \\
a_{1}=-\frac{2}{4} \\
a_{1}=-\frac{1}{2}$$

B

Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru otrzymamy:
$$4^2=2\sqrt{2}\cdot a \\
16=2\sqrt{2}a \quad\bigg/:2 \\
8=\sqrt{2}a \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu ciągu (\(q\)).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{18}{36} \\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Wartość czwartego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
a_{4}=36\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \\
a_{4}=36\cdot\frac{1}{8} \\
a_{4}=\frac{9}{2}=4,5$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(q\).
Znamy wartość pierwszego i drugiego wyrazu, więc możemy wykorzystać tę informację do obliczenia wartości \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Wartość trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego obliczymy mnożąc wartość drugiego wyrazu przez obliczony przed chwilą iloraz \(q\):
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=18\cdot\frac{2}{3} \\
a_{3}=12$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Skoro trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(x+5\), a my wiemy, że jest on równy \(12\), to wystarczy utworzyć i rozwiązać proste równanie:
$$x+5=12 \\
x=7$$

C

Do rozwiązania tego zadania wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(q\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
\frac{1}{3}=\frac{9}{8}\cdot q^{3} \quad\bigg/\cdot\frac{8}{9} \\
q^{3}=\frac{8}{27} \\
q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}} \\
q=\frac{2}{3}$$

D

W tym zadaniu skorzystamy z jednej z ważniejszych zależności ciągów geometrycznych, która mówi nam, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Znamy dokładne wartości drugiego i trzeciego wyrazu, więc bez przeszkód wyznaczymy z tego wzoru wartość \(x\), która znalazła się w pierwszym wyrazie.
$$6^2=(x-2)\cdot12 \\
36=12x-24 \\
12x=60 \\
x=5$$

A

Sumę dziesięciu początkowych wyrazów możemy obliczyć za pomocą wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)} \\
S_{10}=5\cdot\frac{1-1024}{1+2} \\
S_{10}=5\cdot\frac{-1023}{3} \\
S_{10}=5\cdot(-341) \\
S_{10}=-1705$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Do wyznaczenia ilorazu ciągu geometrycznego przyda nam się znajomość dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Najprościej będzie więc wyznaczyć wartość pierwszego i drugiego wyrazu.
$$a_{1}=-\frac{3^1}{4}=-\frac{3}{4} \\
a_{2}=-\frac{3^2}{4}=-\frac{9}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu ciągu.
Iloraz ciągu będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{3}{4}}=-\frac{9}{4}:\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{9}{3}=3$$

A

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Aby móc obliczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (w tym także dziesiątego) potrzebujemy znać wartość pierwszego wyrazu oraz iloraz ciągu. Brakuje nam tylko ilorazu, zatem obliczmy go w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2}{-\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, a skoro interesuje nas poznanie wartości dziesiątego wyrazu to podstawimy do niego \(n=10\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{10}=a_{1}\cdot q^{10-1} \\
a_{10}=-\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})^{9} \\
a_{10}=(-\sqrt{2})^{1+9} \\
a_{10}=(-\sqrt{2})^{10}$$

Aby pozbyć się minusa i otrzymać dokładny wynik tego potęgowania to najprościej jest chyba zapisać to w następującej formie:
$$a_{10}=((-\sqrt{2})^{2})^{5} \\
a_{10}=2^{5} \\
a_{10}=32$$

C

Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1} \\
q^3=3 \\
q=\sqrt[3]{3}$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n \\
a_{1}=2^1=2 \\
a_{2}=2^2=4$$

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \\
S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$

D

Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
(2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\
4x^2+12x+9=4x^2+3x \\
9x+9=0 \\
9x=-9 \\
x=-1$$

Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).

A

Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\).
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
9=72\cdot q^3 \\
q^3=\frac{9}{72} \\
q^3=\frac{1}{8} \\
q=\frac{1}{2}$$

B

Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\
-216=8\cdot q^3 \\
q^3=-27 \\
q=-3$$

A

Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
6^2=24\cdot(a-1) \\
36=24a-24 \\
60=24a \\
a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$

B

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
$$a_{1}=3 \\
a_{9}=12 \\
a_{5}=?$$

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(q^4\).
Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy:
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8} \\
12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3 \\
4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{} \\
q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$

Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie).

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Znając wartość \(q^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu:
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4} \\
a_{5}=3\cdot2 \\
a_{5}=6$$

\(x=3\), \(y=6\). Ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując:
$$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując:
$$y^2=x\cdot12 \\
y^2=12x$$

Krok 3. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x=\frac{y}{2} \\
y^2=12x
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \\
y^2=6y$$

Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę):
$$y^2-6y=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(x\).
Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\).

Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to:
$$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Powstały nam więc dwie pary rozwiązań:
$$x=0,\quad y=0 \\
x=3,\quad y=6$$

Krok 6. Weryfikacja otrzymanych wyników i podanie ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz pojedyncze równania, które wykorzystuje jakieś własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), przez co zakończysz rozwiązywanie zadania z równaniem, które posiada dwie niewiadome.
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań, który pozwoli na wyznaczenie wartości niewiadomych \(x\) oraz \(y\) (patrz: Krok 3).
ALBO
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 4.), ale np. nie dokonasz weryfikacji wyników i nie odrzucisz błędnego rozwiązania
ALBO
• Gdy poprawnie wyznaczysz tylko jedną z niewiadomych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale uzyskasz błędną odpowiedź w wyniku błędów rachunkowych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz o zapisaniu ciągu geometrycznego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik oraz zapiszesz ciąg geometryczny.

\(a_{5}=\frac{1}{4}\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
x^2=64\cdot4 \\
x^2=256 \\
x=16 \quad\lor\quad x=-16$$

Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).
Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\
a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\
a_{5}=64\cdot\frac{1}{256} \\
a_{5}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{9+19}{2} \\
x=\frac{28}{2} \\
x=14$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{42}{14} \\
q=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \\
y=14\cdot3^2 \\
y=14\cdot9=126 \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \\
z=14\cdot3^3 \\
z=14\cdot27=378$$

Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).

Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiązując zadanie pomylisz własności ciągów.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego np. \(x=\frac{9+19}{2}\) albo wręcz obliczysz wartość \(x=14\) (patrz: Krok 1).
ALBO
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie, wykorzystując własności ciągu geometrycznego np. \(42^2=xy\) albo \(y^2=42z\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równania wykorzystujące zarówno własności ciągu arytmetycznego jak i geometrycznego, ale nie powiążesz ich ze sobą i przez to nie rozwiążesz całego zadania.
3 pkt
• Gdy obliczysz iloraz \(q\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz niewiadomą \(y\) (patrz: Krok 3.), ale nie obliczysz niewiadomej \(z\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(q=3\)

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu.
Aby obliczyć iloraz ciągu potrzebujemy znać wartości dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu. Obliczmy więc wartość pierwszego i drugiego wyrazu, podstawiając odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=7\cdot3^{1+1} \\
a_{1}=7\cdot3^{2} \\
a_{1}=7\cdot9 \\
a_{1}=63$$

$$a_{2}=7\cdot3^{2+1} \\
a_{2}=7\cdot3^{3} \\
a_{2}=7\cdot27 \\
a_{2}=189$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) tego ciągu.
Znamy już wartości dwóch kolejnych wyrazów, więc możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{189}{63} \\
q=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz dwa kolejne wyrazy tego ciągu np. pierwszy i drugi (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz, że np. \(a_{2}=a_{1}\cdot q\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{n}=63\cdot3^{n-1}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(k=11\)

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę \(n\)-początkowych wyrazów i utworzysz za jego pomocą równanie z dwiema niewiadomymi np. \(11a_{1}+55r=187\) (patrz: Krok 2.) albo \(\frac{2a_{1}+10r}{2}\).
ALBO
• Gdy do ułożenia równania wykorzystasz wzór na średnią arytmetyczną i utworzysz w ten sposób równanie z dwiema niewiadomymi np. \(a_{1}+\frac{10}{3}r=12\).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
2 pkt
• Gdy zgodnie do wybranego sposobu obliczeń utworzysz układ równań (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz \(a_{1}=2\) i \(r=3\) oraz gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{n}=4n-2\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
18=a_{1}+4r \\
a_{1}=18-4r$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=18-4r+2r \\
a_{3}=18-2r \\
\text{oraz} \\
a_{13}=a_{1}+12r \\
a_{13}=18-4r+12r \\
a_{13}=18+8r$$

W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13} \\
(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r) \\
\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2 \\
36r^2-144r=0$$

Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0 \\
36r(r-4)=0 \\
36r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$

I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).

Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r \\
a_{1}=18-4\cdot4 \\
a_{1}=18-16 \\
a_{1}=2$$

Krok 6. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot4 \\
a_{n}=2+4n-4 \\
a_{n}=4n-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wzory na poszczególne wyrazy ciągu arytmetycznego, gdzie niewiadomą jest jedynie różnica ciągu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od \(a_{5}\), czyli \(a_{1}=a_{5}-4r\), \(a_{3}=a_{5}-2r\) oraz \(a_{13}=a_{5}+8r\)
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci np. \(36r^2-144r=0\) (patrz: Krok 3.) lub \((18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=4\) lub \(r=0\) i rozwiązując zadanie dalej nie odrzucisz \(r=0\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu, czyli \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.