Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2011 – Odpowiedzi

B

Z treści zadania interesuje nas to, że uczniowie gimnazjum stanowią \(30\%\) wszystkich uczniów zespołu szkół. To oznacza, że gimnazjalistów jest:
$$0,3\cdot900=270$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby gimnazjalistów.
Do gimnazjum uczęszcza \(30\%\) z \(900\) uczniów zespołu szkół, zatem gimnazjalistów jest łącznie:
$$0,3\cdot900=270$$

Krok 2. Obliczenie liczby chłopców chodzących do gimnazjum.
Skoro \(40\%\) uczniów gimnazjum to dziewczyny, to analogicznie \(60\%\) gimnazjalistów to chłopcy, zatem chłopców jest łącznie:
$$0,6\cdot270=162$$

Krok 3. Obliczenie ile procent uczniów zespołu szkół stanowią chłopcy uczęszczający do gimnazjum.
Mając komplet informacji możemy teraz wyznaczyć poszukiwany procent. Chłopców chodzących do gimnazjum jest \(162\), wszystkich uczniów zespołu szkół jest \(900\), więc ci chłopcy stanowią:
$$\frac{162}{900}=0,18=18\%$$

B

Krok 1. Obliczenie liczby chłopców chodzących do zespołu szkół.
Z treści zadania wynika, że chłopcy stanowią \(40\%\) uczniów zespołu, zatem chłopców jest łącznie:
$$0,4\cdot900=360$$

Krok 2. Obliczenie liczby dziewczyn chodzących do zespołu szkół.
Skoro chłopcy stanowią \(40\%\) uczniów, to dziewczyny stanowią \(60\%\), zatem dziewczyn jest łącznie:
$$0,6\cdot900=540$$

Krok 3. Obliczenie ile razy więcej jest dziewcząt niż chłopców.
Skoro dziewczyn jest \(540\), a chłopców jest \(360\), to dziewczyn jest \(\frac{540}{360}=1,5\) razy więcej.

A

W głosowaniu wzięło udział \(n\) osób. Na Alę i Basię oddano łącznie \(25+15=40\) głosów. Możemy więc zapisać, że na pozostałe osoby oddało swój głos \(n-40\) głosujących. Na Michała oddano \(\frac{2}{5}\) z tych pozostałych głosów, czyli:
$$\frac{2}{5}\cdot(n-40)=\frac{2}{5}n-16$$

A

Ala: \(25\) głosów
Basia: \(15\) głosów
Michał: \(\frac{2}{5}\cdot(120-40)=\frac{2}{5}\cdot80=32\) głosy
Ola: \(120-25-15-32=48\) głosów

To oznacza, że trzecie miejsce zajęła Ala.

C

Krok 1. Obliczenie sumy wszystkich ocen Jacka.
Skoro Jacek ma pięć ocen i ich średnia jest równa \(3,4\), to suma wszystkich ocen jest równa:
$$5\cdot3,4=17$$

Krok 2. Obliczenie nowej średniej ocen.
Dotychczasowa suma ocen Jacka to \(17\). Jak zdobędzie jeszcze jedną czwórkę, będzie miał już sześć ocen, a ich suma wyniesie \(17+4=21\). To oznacza, że nowa średnia ocen będzie równa:
$$\frac{21}{6}=3,5$$

A

Jedną oś symetrii ma tylko pierwszy symbol.

C

Krok 1. Obliczenie pól trzech małych trójkątów.
Aby obliczyć pole szarego trójkąta najprościej będzie obliczyć pola trzech małych białych trójkątów, których sumę pól powierzchni odejmiemy od pola kwadratu.
\(P=\frac{1}{2}ah \\
P_{1}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=\frac{1}{2}\cdot36=18[cm^2] \\
P_{2}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=\frac{1}{2}\cdot72=36[cm^2] \\
P_{3}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=\frac{1}{2}\cdot72=36[cm^2]\)

Suma tych trzech pól powierzchni jest równa:
$$P=18+36+36=90cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola kwadratu.
Cały kwadrat ma pole powierzchni równe:
$$P=12\cdot12=144[cm^2]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni zamalowanego trójkąta.
Nasz zamalowany trójkąt będzie różnicą między polem powierzchni kwadratu i polem trzech trójkątów, zatem:
$$P=144cm^2-90cm^2=54cm^2$$

Pan Kowalski musi zapłacić \(188zł\).

Krok 1. Obliczenie kosztu dodatkowych minut.
Pan Kowalski wydzwonił \(300\) minut, ale \(120\) minut miał bezpłatnych, zatem będzie on musiał zapłacić tylko za \(300-120=180\) minut. Skoro koszt jednej minuty w taryfie \(C\) to \(0,6zł\), to za nadliczbowe minuty Pan Kowalski zapłaci:
$$180\cdot0,6zł=108zł$$

Krok 2. Obliczenie wysokości całego rachunku.
Na cały rachunek składa się wysokość abonamentu oraz opłaty za dodatkowe minuty, czyli ostatecznie za marzec Pan Kowalski musi zapłacić:
$$80zł+108zł=188zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczając wysokość całego rachunku otrzymasz błędny wynik, popełniając błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Korzystniejsza jest taryfa D.

Krok 1. Obliczenie wysokości rachunku dla czasu połączeń równego \(200\) minut.
W takich zadaniach dobrze jest sprawdzić co się dzieje dla wartości granicznych. Choć my ostatecznie musimy stwierdzić która taryfa jest korzystniejsza w przypadku czasu połączeń większego od \(200\), to sprawdźmy jak wyglądają rachunki kiedy jest to dokładnie \(200\) minut.

Taryfa C: \(80zł+0,6zł\cdot200=80zł+120zł=200zł\)
Taryfa D: \(120zł+0,4zł\cdot200=120zł+80zł=200zł\)

Okazuje się, że dla \(200\) minut rachunki w obydwu taryfach są identyczne.

Krok 2. Obliczenie wysokości rachunku dla czasu połączeń równego \(201\) minut.
Teraz sprawdźmy to co jest sednem tego zadania, czyli która taryfa jest korzystniejsza dla czasu połączeń większego niż \(200\) minut, czyli np. obliczmy rachunki dla czasu \(201\) minut:
Taryfa C: \(80zł+0,6zł\cdot201=80zł+120,6zł=200,6zł\)
Taryfa D: \(120zł+0,4zł\cdot201=120zł+80,4zł=200,4zł\)

Widzimy, że korzystniejsza staje się oferta \(D\) i tak będzie z każdą kolejną minutą ponad \(200\), bo opłata za jedną minutę w tej taryfie jest po prostu niższa niż w taryfie \(C\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość rachunków dla \(200\) minut.
ALBO
• Gdy obliczysz wartość rachunków dla więcej niż \(200\) minut, ale nie wskażesz która taryfa jest korzystniejsza, czyli w której rachunek jest niższy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Maksymalnie można wykonać \(57\) minut połączeń.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Niech \(x\) to będzie ilość wydzwonionych minut. Zobaczmy ile musimy zapłacić za \(x\) minut w taryfie \(A\) oraz \(B\):
Cena za rachunek w taryfie A: \(20+1,1x\)
Cena za rachunek w taryfie B: \(40+0,75x\)

Krok 2. Ustalenie do ilu minut połączeń taryfa \(A\) jest korzystniejsza.
Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do ilu minut taryfa \(A\) będzie korzystniejsza niż taryfa \(B\). Musimy więc sprawdzić dla jakiego \(x\) zajdzie nierówność:
$$20+1,1x\lt40+0,75x \\
0,35x\lt20 \\
x\lt57,14$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam \(x\lt57,14\). To oznacza, że maksymalnie możemy wykonać \(57\) pełnych minut połączeń, aby rachunek telefoniczny w taryfie \(A\) był niższy niż w taryfie \(B\). Z każdą kolejną minutą to taryfa \(B\) stanie się korzystniejsza.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ustalisz do ilu minut połączeń taryfa \(A\) jest korzystniejsza (Krok 2.), ale nie przeprowadzisz interpretacji otrzymanego wyniku.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Ania ulepiła \(72\) koraliki.

Krok 1. Obliczenie objętości modeliny.
Na początku obliczmy objętość walca, czyli pojedynczej modeliny. Wzór na objętość walca jest następujący:
$$V=πr^2\cdot H$$

Jak więc widzimy, do obliczenia objętości walca potrzebny jest nam promień walca, a my w treści zadania mamy podaną średnicę. Wiedząc że promień jest dwa razy krótszy od średnicy możemy napisać, że \(r=2cm:2=1cm\). Teraz bez przeszkód możemy obliczyć objętość pojedynczej modeliny.
$$V=π1^2\cdot6 \\
V=6π[cm^3]$$

Obliczyliśmy, że pojedyncza modelina ma \(6π\;cm^3\) objętości. Z racji tego iż mamy dwie takie modeliny, to łącznie będzie to:
$$2\cdot6πcm^3=12π\;cm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości pojedynczego koralika.
Koralik jest kulą, zatem jego objętość obliczymy ze wzoru:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$

Tutaj podobnie jak przed chwilą - potrzebujemy do objętości znać długość promienia, a znamy długość średnicy. Skoro tak, to \(r=1cm:2=\frac{1}{2}cm\). Teraz bez przeszkód możemy obliczyć objętość pojedynczego koralika:
$$V=\frac{4}{3}π\cdot\left(\frac{1}{2}cm\right)^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot\frac{1}{8}cm^3 \\
V=\frac{1}{6}π\;cm^3$$

Krok 3. Obliczenie liczby koralików.
Mamy \(12πcm^3\) modeliny i lepimy z niej koraliki o objętości \(\frac{1}{6}π\;cm^3\). Dzieląc te dwie liczby przez siebie obliczymy ile koralików jesteśmy w stanie ulepić:
$$12π\;cm^3:\frac{1}{6}π\;cm^3=72$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz objętość pojedynczej modeliny (Krok 1.) lub pojedynczego koralika (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość pojedynczej modeliny (Krok 1.) oraz pojedynczego koralika (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy zadania, ale otrzymany wynik będzie błędny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę koralików, ale dla jednej modeliny, a nie dwóch jak wymaga tego zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.