Jedynka trygonometryczna

Jedną z najważniejszych własności trygonometrycznych jest jedynka trygonometryczna. Czym jest ta jedynka i kiedy możemy ją wykorzystać?

Jedynka trygonometryczna to zależność między sinusem i cosinusem, którą opisujemy w następujący sposób:
$$sin^2α+cos^2α=1$$

Sprawdźmy tę zależność dla jakiegoś kąta, np. \(α=30°\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin30°=\frac{1}{2}\) oraz \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$(sin30°)^2+(cos30°)^2= \\
=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2= \\
=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$

Niezależnie od tego jaką wartość miałby nasz kąt alfa, to zawsze suma kwadratów sinusa i cosinusa tego kąta będzie równa jeden. Stąd właśnie wzięła się nazwa – jedynka trygonometryczna.

Do czego może nam się ta własność przydać? Wbrew pozorom jest ona bardzo często wykorzystywana na matematyce, głównie wtedy kiedy znając wartość jednej z funkcji (np. sinusa) musimy podać wartość drugiej (np. cosinusa).

Przykład 1. Oblicz wartość \(cosα\) jeżeli \(sinα=\frac{4}{5}\) i \(α\) jest kątem ostrym.

To klasyczne zadanie w którym do obliczenia poszukiwanej wartości przyda nam się znajomość jedynki trygonometrycznej. Skoro \(sinα=\frac{4}{5}\) to możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\
\frac{16}{25}+cos^2α=\frac{25}{25} \\
cos^2α=\frac{9}{25} \\
cosα=\sqrt{\frac{9}{25}} \lor cosα=-\sqrt{\frac{9}{25}} \\
cosα=\frac{3}{5} \lor cosα=-\frac{3}{5}$$

To jednak jeszcze nie koniec zadania, bowiem jedną z tych wartości musimy odrzucić, a konkretniej rzecz ujmując musimy odrzucić wartość ujemną. Dlaczego? W treści zadania mamy podaną informację, że kąt \(α\) jest kątem ostrym. Dla kątów ostrych zarówno sinus jak i cosinus przyjmują wartości dodanie i to jest powód, dla którego ujemne rozwiązanie odrzucamy, a ostatecznym wynikiem jest \(cosα=\frac{3}{5}\).

Warto pamiętać o tym odrzucaniu ujemnego wyniku, bo informacja o tym że kąt \(α\) jest kątem ostrym pojawia się w bardzo wielu zadaniach z trygonometrii. Gdyby \(α\) była kątem rozwartym, to odrzucilibyśmy dodatnie rozwiązanie.

Przykład 2. Oblicz wartość tangensa kąta \(α\) jeżeli \(cosα=\frac{5}{13}\) i \(α\) jest kątem ostrym.

Zadanie podobne do poprzedniego, ale tym razem musimy podać wartość tangensa. Co tangens ma wspólnego z jedynką trygonometryczną? Teoretycznie nie ma nic wspólnego, ale pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) będziemy mogli podać jego wartość w momencie gdy obliczymy wartość sinusa. Do obliczenia wartości sinusa skorzystamy oczywiście z jedynki trygonometrycznej.

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \\
sin^2+\frac{25}{169}=1 \\
sin^2+\frac{25}{169}=\frac{169}{169} \\
sin^2=\frac{144}{169} \\
sinα=\sqrt{\frac{144}{169}} \lor sinα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \\
sinα=\frac{12}{13} \lor sinα=-\frac{12}{13}$$

Podobnie jak to miało miejsce w pierwszym zadaniu, tak i tutaj mamy informację o tym, że \(α\) jest kątem ostrym. To oznacza, że rozwiązanie ujemne musimy odrzucić i zostaje nam wynik \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Znamy już wartości sinusa i cosinusa, zatem bez przeszkód możemy obliczyć wartość tangensa:
$$\require{cancel}
tgα=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \\
tgα=\frac{12}{\cancel{13}}\cdot\frac{\cancel{13}}{5} \\
tgα=\frac{12}{5}$$

Zobacz też: Wzory redukcyjne

Dodaj komentarz