Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2,2) i B=(2,10)

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A=(-2,2)\) i \(B=(2,10)\).

Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases}
2=-2a+b \\
10=2a+b
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a \\
a=2$$

Znając współczynnik \(a\) możemy jeszcze wyliczyć współczynnik \(b\) z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b \\
2=-4+b \\
b=6$$

Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) opisana jest wzorem w postaci: \(y=2x+6\).

Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka \(AB\) obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right) \\
S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right) \\
S=(0;6)$$

Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=2\), to nasza symetralna ma na pewno współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot-\frac{1}{2}=-1\)). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).

W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt \(S=(0;6)\). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik \(b\) tej prostej prostopadłej, bo współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\). Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że \(b=6\). Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik \(b\) możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+b\), czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b \\
6=0+b \\
b=6$$

Nasza symetralna jest więc opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).

\(y=-\frac{1}{2}x+6\)