Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) – Matematyka – 2021 – Odpowiedzi

C

Sprawdźmy poprawność każdej z podanych odpowiedzi:
Odp. A. - na wszystkie zwierzęta poza psami zagłosowało \(5\%+20\%+25\%+5\%=55\%\) ankietowanych. To oznacza, że na psa faktycznie zagłosowało \(100\%-55\%=45\%\) ankietowanych, czyli zdanie jest prawdą.
Odp. B. - na królika głosowało \(5\%\) uczniów, a na chomika \(20\%\), czyli faktycznie na królika zagłosowało \(4\) razy mniej osób.
Odp. C. - skoro na chomika głosowało \(20\%\) uczniów i było to \(16\) osób, to zgodnie z proporcją, \(100\%\) uczniów to \(16\cdot5=80\) osób. Na kota głosowało \(25\%\) uczniów, czyli \(0,25\cdot80=20\) ankietowanych. To oznacza, że to zdanie jest fałszem.
Odp. D. - zgodnie z obliczeniami z poprzedniej odpowiedzi, faktycznie było \(80\) ankietowanych.

Fałszywe zdanie znalazło się więc w trzeciej odpowiedzi.

B

Sprawdźmy wartości podanych liczb, wykonując poszczególne obliczenia arytmetyczne:
\(p=\frac{27\cdot9}{27+9}=\frac{243}{36}=6,75 \\
r=\frac{27+9}{27-9}=\frac{36}{18}=2 \\
s=\frac{18}{3}=6\)

Zapisem liczb od najmniejszej do największej będzie więc \(r,s,p\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Aby liczba była podziela przez \(3\), suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). Sprawdźmy zatem podane liczby:
· \(3321 \Rightarrow 3+3+2+1=9\)
· \(1764 \Rightarrow 1+7+6+4=18\)
· \(6114 \Rightarrow 6+1+1+4=12\)
· \(2936 \Rightarrow 2+9+3+6=20\)
· \(1452 \Rightarrow 1+4+5+2=12\)
· \(1627 \Rightarrow 1+6+2+7=16\)

To oznacza, że liczbami podzielnymi przez \(3\) będą: \(3321, 1764, 6114, 1452\), czyli są cztery takie liczby.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Aby liczba była podziela przez \(4\), jej dwie ostatnie cyfry muszą tworzyć liczbę podzielną przez \(4\). Spośród podanych liczb ten warunek spełniają jedynie liczby \(1764\) (bo \(64:4=16\)), \(2936\) (bo \(36:4=9\)) oraz \(1452\) (bo \(52:4=13). Są to więc trzy liczby.

C

Musimy obliczyć każde z podanych wyrażeń, zatem:
I. \(-16,55+6,05=-10,5\)
II. \(-5\frac{3}{4}-4,75=-10,5\)
III. \(\frac{2}{3}\cdot\left(-15\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{61}{4}\right)=-\frac{122}{12}=-10\frac{2}{12}=-10\frac{1}{6}\)
IV. \((-1,5):\frac{1}{7}=(-1,5)\cdot7=-10,5\)

Wartość inną niż \(-10\frac{1}{2}\) otrzymaliśmy w trzeciej odpowiedzi.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{27^6}{3^6}=\frac{3^6\cdot9^6}{3^6}=9^6=(3^2)^6=3^{12}$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{25^8}{5^4}=\frac{5^8\cdot5^8}{5^4}=\frac{5^8\cdot5^4\cdot5^4}{5^4}=5^8\cdot5^4=5^{12}$$

E

Krok 1. Obliczenie wartości każdej z liczb.
Aby ustalić, które zdanie jest fałszywe, obliczymy wartość każdej z podanych liczb:
\(a=(-2)^2=4 \\
b=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\
c=\frac{1}{2}(3-5)^2=\frac{1}{2}\cdot(-2)^2=\frac{1}{2}\cdot4=2 \\
d=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5\)

Krok 2. Ocena prawdziwości poszczególnych odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. - faktycznie, wszystkie liczby są dodatnie
Odp. B. - liczba \(b\) jest jak najbardziej większa od \(c\)
Odp. C. - liczba \(c\) jest rzeczywiście dwa razy mniejsza niż liczba \(a\)
Odp. D. - liczba \(d\) jest faktycznie 2 razy mniejsza niż liczba \(b\)
Odp. E. - liczba \(c\) jest mniejsza (a nie większa) niż liczba \(d\)

Fałszywa było więc ostatnie zdanie.

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeżeli każdą z liczb zmniejszymy o \(6\), to suma dwóch liczb będzie o \(12\) mniejsza. To oznacza, że nowa suma dwóch liczb będzie równa \(46-12=34\), czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli każdą z liczb zwiększymy o połowę, to suma otrzymanych liczb będzie \(1,5\) razy większa od początkowej, czyli wyniesie \(1,5\cdot46=69\). Zdanie jest więc prawdą.

A. 2.,

W pierwszej promocji otrzymujemy \(20\%\) czekolady więcej, czyli za \(9,60zł\) otrzymamy \(1,2\cdot20dag=24dag\) czekolady. Klient potrzebuje \(120dag\), czyli musiałby zakupić \(120:24=5\) tabliczek. Zapłaciłby za nie \(5\cdot9,60zł=48zł\).

W drugiej promocji cena czekolady spada o \(20\%\), czyli wynosi \(0,8\cdot9,60zł=7,68zł\). Klient potrzebuje \(120dag\), czyli musiałby zakupić \(120:20=6\) tabliczek. Zapłaciłby za nie \(6\cdot7,68zł=46,08zł\).

To oznacza, że faktycznie promocja II jest bardziej opłacalna, ponieważ w promocji II \(1 dag\) czekolady kosztuje mniej niż w promocji I.

A, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli liczba \(a\) jest mniejsza od \(-1\) (czyli może być ona równa np. \(-2, -5, -100\) itd.) to aby cała suma \(a+b+c\) była równa \(-1\), to \(b+c\) musi być liczbą dodatnią.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Jeżeli liczba \(a\) jest większa od zera (czyli jest dodatnia), to iloczyn \(b\cdot c\) także musi być dodatni, aby otrzymać wynik równy \(1\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli trójkąt ma jednakowe miary kątów przy podstawie, to jest to na pewno trójkąt równoramienny. Skoro tak, to ramiona o długości \(3x+1\) oraz \(2x+4\) muszą być sobie równe, czyli:
$$3x+1=2x+4 \\
x=3$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta.
Dodając do siebie wszystkie długości boków, obwód tego trójkąta wyniesie:
$$Obw=2x+1+2x+4+3x+1 \\
Obw=7x+6$$

Podstawiając teraz \(x=3\), otrzymamy:
$$Obw=7\cdot3+6 \\
Obw=21+6 \\\
Obw=27$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby czarnych piłeczek.
Skoro piłeczki czarne stanowią \(\frac{1}{4}\) całości, to jest ich łącznie:
$$\frac{1}{4}\cdot72=18$$

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania przez Bartka piłeczki czarnej.
Bartek przystępuje do losowania w momencie, gdy wyciągnięto już \(12\) piłeczek. Przed jego losowaniem liczba piłeczek w pudełku jest więc równa:
$$72-12=60$$

Kiedy Bartek przystępuje do losowania to w pudełku jest \(60\) piłeczek, z czego \(18\) czarnych. To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania piłki czarnej wyniesie:
$$P(A)=\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta.
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem skoro obwód tej figury wynosi \(18cm\), to bok tego trójkąta będzie mieć długość:
$$18cm:3=6cm$$

Tym samym krótszy bok prostokąta ma długość \(6cm\).

Teraz obliczmy długość boku kwadratu. Jeżeli pole tego kwadratu wynosi \(64cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu wyjdzie nam, że:
$$P=a^2 \\
64cm^2=a^2 \\
a=8cm \quad\lor\quad a=-8cm$$

Długość boku kwadratu nie może być ujemna, więc zostaje nam \(a=8cm\). Tym samym dłuższy bok prostokąta ma długość \(8cm\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Nasz prostokąt ma wymiary \(6cm\times8cm\). Jego pole powierzchni będzie więc równe:
$$P=6cm\cdot8cm \\
P=48cm^2$$

Pole kwadratu było równe \(64cm^2\), czyli faktycznie pole prostokąta jest o \(16cm^2\) mniejsze (bo \(64-48=16\)). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obwód naszego prostokąta będzie równy:
$$Obw=2\cdot6cm+2\cdot8cm \\
Obw=12cm+16cm \\
Obw=28cm$$

Skoro obwód trójkąta wynosił \(18cm\), to znaczy, że obwód naszego prostokąta jest faktycznie o \(10cm\) dłuższy (bo \(28-18=10\)). Zdanie jest więc prawdą.

B

Musimy dobrze przeanalizować rysunek. Czym się różni suma obwodów trójkąta \(AED\) oraz czworokąta \(EBCD\), od obwodu trójkąta \(ABC\)? Różni się właśnie tylko tym odcinkiem \(DE\), którego długości szukamy. To właśnie na tej obserwacji oprzemy rozwiązania tego zadania.

Suma obwodów trójkąta \(AED\) oraz czworokąta \(EBCD\) wynosi:
$$Obw=16cm+30cm \\
Obw=46cm$$

Skoro suma tych dwóch figur jest równa \(46cm\), a obwód trójkąta \(ABC\) wynosi \(34cm\), to różnica obwodów jest równa:
$$46cm-34cm=12cm$$

Ale to nie koniec obliczeń. Pułapką w tym zadaniu jest fakt, że my ten odcinek \(DE\) policzyliśmy tak naprawdę podwójnie (raz w obwodzie trójkąta \(AED\) i raz w czworokącie \(EBCD\)). Skoro tak, to:
$$|DE|=12cm:2=6cm$$

A

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - długość krawędzi podstawy
\(4x\) - długość krawędzi bocznej

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny będzie miał \(6\) krawędzi podstawy i \(6\) krawędzi bocznych. Suma tych krawędzi jest równa \(450\), zatem:
$$6x+6\cdot4x=450 \\
6x+24x=450 \\
30x=450 \\
x=15$$

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest zatem równa \(15\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek następujące informacje:


Krok 2. Obliczenie brakującej długości krawędzi graniastosłupa.
Obliczmy od razu brakującą długość krawędzi graniastosłupa (która przyda nam się w jednym z kolejnych kroków).
$$3^2+x^2=5^2 \\
9+x^2=25 \\
x^2=16 \\
x=4 \quad\lor\quad x=-4$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=4\).

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Największą ścianą boczną jest prostokąt o wymiarach \(7\times5\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=7\cdot5 \\
P=35$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt, którego przyprostokątnymi są boki o długości \(3\) oraz \(4\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4 \\
P=6$$

Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(6\), a nie \(12\), a to oznacza, że zdanie jest fałszem.

W pojemniku nie zmieści się \(1,5kg\) mąki, ponieważ jego maksymalna pojemność wynosi \(1,2kg\).

Krok 1. Obliczenie, ile szklanek mieści się objętościowo w jednym pojemniku.
Słoik ma \(2\) litry, czyli \(2000ml\), natomiast szklanka ma \(250ml\). To oznacza, że w takim pojemniku zmieści się \(2000:250=8\) szklanek mąki.

Krok 2. Obliczenie, ile mąki zmieści się w pojemniku.
W każdej szklance zmieści się \(150g\) mąki, zatem łącznie babcia Kasi pomieści:
$$8\cdot150g=1200g=1,2kg$$

To oznacza, że w pojemniku nie zmieści się \(1,5kg\) mąki, ponieważ jego maksymalna pojemność wynosi \(1,2kg\).

Zespół liczy łącznie \(24\) osoby.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba chłopców
\(2x\) - liczba dziewcząt

Na próbie nie pojawiło się dwóch chłopców i jedna dziewczyna, czyli:
\(x-2\) - liczba chłopców na próbie
\(2x-1\) - liczba dziewcząt na próbie

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika na próbie liczba chłopców stanowi \(\frac{2}{5}\) liczby obecnych dziewcząt. Możemy więc zapisać, że:
$$x-2=\frac{2}{5}\cdot(2x-1) \\
x-2=0,4\cdot(2x-1) \\
x-2=0,8x-0,4 \\
0,2x=1,6 \\
x=8$$

Krok 3. Obliczenie liczebności zespołu.
Z oznaczeń wynika, że w zespole mamy \(8\) chłopców, czyli tym samym dziewczyn będzie \(2\cdot8=16\). To oznacza, że zespół liczy łącznie \(8+16=24\) osoby.

\(v=57\frac{km}{h}\)

W zadaniu skorzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Z treści zadania wynika, że \(s=38km\), natomiast \(t=\frac{2}{3}h\) (ponieważ \(40\) minut stanowi \(\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\) godziny. To oznacza, że:
$$v=\frac{38km}{\frac{2}{3}h} \\
v=38km:\frac{2}{3}h \\
v=38km\cdot\frac{3}{2}h \\
v=57\frac{km}{h}$$

\(P=120cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Z treści zadania wynika, że wszystkie trójkąty są przystające (czyli mają jednakowe miary). To oznacza, że trójkąt \(AED\) ma tą samą długość podstawy co trójkąt \(EBF\). Skoro bok \(AB\) ma długość \(24cm\), to zarówno bok \(AE\) jak i \(EB\) będą mieć połowę tej miary, czyli tym samym \(|AE|=12cm\).

Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Spójrzmy na prostokątny trójkąt \(AED\). Wiemy już, że \(|AE|=12cm\). Z treści zadania odczytujemy, że \(|AD|=13\). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku \(ED\), który jest jednocześnie wysokością naszego równoległoboku:
$$12^2+h^2=13^2 \\
144+h^2=169 \\
h^2=25 \\
h=5 \quad\lor\quad h=-5$$

Ujemną długość odrzucamy, bo wysokość jest zawsze dodatnia, zatem wiemy już, że \(h=5cm\).

Krok 3. Obliczenie pola równoległoboku \(ABCD\).
Z treści zadania wiemy, że podstawa równoległoboku ma długość \(a=24cm\). Obliczyliśmy też, że \(h=5cm\). Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku możemy teraz zapisać, że:
$$P=a\cdot h \\
P=24cm\cdot5cm \\
P=120cm^2$$