Reguła dodawania

Reguła dodawania jest obok reguły mnożenia jednym z ważniejszych pojęć w dziale kombinatoryki. Spróbujmy sobie zatem powiedzieć na czym ta reguła dodawania polega i przede wszystkim gdzie znajdzie ona swoje zastosowanie.

Bardzo często z reguły dodawania korzystamy dość intuicyjnie, nie zdając sobie nawet sprawy z jej istnienia. Na początek przeanalizujmy sobie prostą sytuację. W pudełku mamy \(14\) kul białych, \(11\) kul czerwonych oraz \(5\) kul zielonych. Spośród tych wszystkich kul chcemy wylosować jedną sztukę. Na ile różnych sposobów możemy wybrać kulę, która jest biała lub czerwona? Tu sprawa jest bardzo oczywista, bo widzimy wyraźnie, że takiego wyboru możemy dokonać na \(14+11=25\) sposobów.

Choć przykład wydaje się dość banalny, to bardzo dobrze opisuje on ideę reguły dodawania. Gdyby zdarzeniem sprzyjającym było wylosowanie tylko kuli białej, to mielibyśmy \(14\) interesujących nas możliwości wyboru kuli. Gdyby zdarzeniem sprzyjającym było wylosowanie tylko kuli czerwonej, to pasowałoby nam \(11\) możliwości. Jeżeli za zdarzenie sprzyjające przyjmiemy wylosowanie kuli białej lub czerwonej, to pasować nam będzie właśnie \(14+11=25\) możliwości.

Reguła dodawania mówi nam więc, że jeżeli mamy np. dwa interesujące nas zbiory – jeden składający się z \(x\) elementów, a drugi składający się z \(y\) elementów (i żaden element nie jest wspólny dla tych dwóch zbiorów), to chcąc wybrać pewien element z tych zbiorów możemy to zrobić na \(x+y\) sposobów.

W porządku, ale jak będziemy wykorzystywać tę wiedzę w praktyce? Bardzo często chcąc poznać liczbę możliwych sytuacji wystąpienia jakiegoś zdarzenia, będziemy musieli rozbić daną sytuację na kilka wariantów, które trzeba będzie przeanalizować osobno. Wtedy właśnie utworzą nam się różne zbiory interesujących nas możliwości, które na koniec trzeba będzie do siebie dodać. Spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 1. Państwo Kowalscy chcą kupić zestaw mebli ogrodowych. W ofercie sklepu są \(4\) stoły plastikowe i \(3\) stoły drewniane oraz \(6\) modeli krzeseł plastikowych i \(5\) modeli krzeseł drewnianych. Na ile sposobów można zakupić komplet mebli ogrodowych (stół+krzesło), tak aby obydwie rzeczy były wykonane z tego samego materiału?

Państwo Kowalscy chcą kupić albo meble plastikowe, albo meble drewniane. Musimy więc policzyć oddzielnie ilość kombinacji zestawu mebli dla każdego z dwóch wariantów:
• Jeżeli wybiorą meble plastikowe to będą wybierać spośród \(4\) stołów i \(6\) krzeseł. Możemy więc powiedzieć, że zgodnie z regułą mnożenia uda im się stworzyć \(4\cdot6=24\) zestawy plastikowych mebli.
• Jeżeli wybiorą meble drewniane to będą wybierać spośród \(3\) stołów i \(5\) krzeseł. Tutaj ponownie z pomocą przyjdzie nam reguła mnożenia dzięki której możemy powiedzieć, że uda im się stworzyć \(3\cdot5=15\) zestawów mebli drewnianych.

I teraz w grę wchodzi reguła dodawania. Chcieliśmy mieć meble wykonane z tego samego materiału, zatem możemy powiedzieć, że da się utworzyć \(24+15=39\) interesujących nas zestawów mebli.

Powyższy przykład pokazuje klasyczne zastosowanie reguły dodawania. Sytuację w treści zadania podzieliliśmy sobie na dwie części. Najpierw policzyliśmy ile jest pasujących kompletów plastikowych, potem ile jest pasujących kompletów drewnianych i dodaliśmy do siebie te dwa wyniki. Nie było tutaj też żadnej obawy związanej z tym, że jakiś komplet policzyliśmy podwójnie (na co trzeba uważać przy bardziej skomplikowanych zadaniach).

Dla treningu rozpatrzmy sobie jeszcze taki jeden nieco trudniejszy przykład.

Przykład 2. Ile jest liczb trzycyfrowych mniejszych od \(700\), które w swoim zapisie mają jedną trójkę?

Do tego zadania najprościej będzie podejść w taki sposób, że przeanalizujemy sobie trzy odrębne sytuacje:
I możliwość – trójka jest cyfrą setek, czyli mamy liczbę \(3■■\).
• W rzędzie dziesiątek może znaleźć się dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(3\) (bo mamy mieć tylko jedną trójkę). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu dziesiątek.
• W rzędzie jedności może znaleźć się dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(3\) (bo mamy mieć tylko jedną trójkę). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu jedności.
Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że interesujących nas liczb mamy: \(9\cdot9=81\).

II możliwość – trójka jest cyfrą dziesiątek, czyli mamy liczbę \(■3■\).
• W rzędzie setek możemy mieć dowolną cyfrę oprócz \(7,8,9,0\) oraz \(3\). Cyfry \(7,8,9\) wykluczamy ze względu na to, że nasza liczba musi być mniejsza od \(700\). Cyfrę \(0\) wykluczamy, bo nie ma takich liczb jak \(031\). Cyfrę \(3\) wykluczamy, bowiem w zapisie ma się pojawić tylko jedna trójka. Mamy więc pięć możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• W rzędzie jedności możemy mieć dowolną cyfrę oprócz \(3\) (bo mamy mieć tylko jedną trójkę). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu jedności.
Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że interesujących nas liczb mamy: \(5\cdot9=45\).

III możliwość – trójka jest cyfrą jedności, czyli mamy liczbę \(■■3\).
• W rzędzie setek możemy mieć dowolną cyfrę oprócz \(7,8,9,0\) oraz \(3\). Cyfry \(7,8,9\) wykluczamy ze względu na to, że nasza liczba musi być mniejsza od \(700\). Cyfrę \(0\) wykluczamy, bo nie ma takich liczb jak \(031\). Cyfrę \(3\) wykluczamy, bowiem w zapisie ma się pojawić tylko jedna trójka. Mamy więc pięć możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• W rzędzie dziesiątek możemy mieć dowolną cyfrę oprócz \(3\) (bo mamy mieć tylko jedną trójkę). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu dziesiątek.
Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że interesujących nas liczb mamy: \(5\cdot9=45\).

I co teraz? Policzyliśmy sobie ile jest liczb w każdym z możliwych wariantów. Co niezwykle istotne – liczby ujęte w każdym z tych trzech wariantów nie dublują się (czyli nie mamy sytuacji w której jakąś liczbę policzymy dwukrotnie). To właśnie w takiej sytuacji do gry wchodzi reguła dodawania. Interesuje nas każdy z trzech wariantów, zatem możemy zapisać, że suma wszystkich interesujących nas kombinacji będzie równa \(|A|=81+45+45=171\).

Zobacz też: Reguła mnożenia

Dodaj komentarz