Liczby rzeczywiste - zadania
Zadanie 11. (2pkt) Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \(a,b,c\) spełniają nierówności \(0\lt a\lt b\lt c\), to \(\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2}\).
Odpowiedź
Udowodniono na podstawie przekształcenia nierówności do postaci \(c+c\gt a+b\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Spróbujmy przekształcić tę nierówność, tak aby móc wyciągnąć z niej jakieś wnioski. Zacznijmy od usunięcia postaci ułamka:
$$\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
2a+2b+2c\gt3a+3b \\
2c\gt a+b \\
c+c\gt a+b$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanej nierówności.
Skoro liczba \(c\) jest największa spośród wszystkich niewiadomych, to możemy być pewni, że para liczb \(c+c\) jest większa od pary liczb \(a+b\). Dowód można uznać za zakończony.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy przekształcisz podaną nierówność do postaci typu \(2c\gt a+b\) (patrz: Krok 1.), albo \((c-a)+(c-b)\gt0\) albo \(\frac{-a-b+2c}{6}\gt0\), albo jakiejkolwiek innej podobnej i nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 12. (2pkt) Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).
Odpowiedź
Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę \(3k^2\) w postaci \(7\cdot(21n^2+12n+1)+5\).
Wyjaśnienie:
Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$
Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$
W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie w postaci \(3(7n+2)^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 13. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając podane równanie.
Wyjaśnienie:
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \\
\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \\
0\le a^2-2ab+b^2 \\
0\le (a-b)^2$$
Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) lub \(2a^2+2b^2\ge4ab\) lub \(a^2+b^2-2ab\ge0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Fajne ;)
Ta strona jest świetna. Najlepsza, wygodna w użyciu, czytelna, jest tu wszystko. Dzięki Panu zdam maturę, może nie na 100%, ponieważ jestem humanistką, ale zdam! Nie muszę chodzić na płatne korepetycje, ani szukać rozwiązań zadań w różnych źródłach, co zajmuje mnóstwo cennego czasu. Polecam każdemu, moja młodsza siostra również korzysta z zadań dla szkoły podstawowej. WIELKIE DZIĘKI
I o to właśnie chodzi! Taka optymistyczna postawa bardzo mi się podoba :) Cieszę, że mogę pomóc i trzymam kciuki za jak najlepszy wynik!
Gratuluję świetnej roboty. Naprawdę wyjątkowo udana
Takiej strony właśnie szukałam :) Można się wiele nauczyć i za to Dziękuję. Świetna strona, niepłatna i widać, że przygotowana z pełnym profesjonalizmem. Doceniam za wkład pracy oraz dobre serducho :*
Naprawdę ta strona wiele mi pomogła i mogłam w krótkim czasie nadrobić dużo zaległości
Świetne materiały!! Jest szansa, że zdam maturę z matmy! Pozdrawiam :)
Dziękuję za tę stronę! Jest niesamowitą pomocą dla każdego maturzysty! :)
Na tej stronie można zrozumieć każde zadanie maturalne. Bardzo dziękuje za wysiłek włożony w stworzenie takiego arcydzieła maturalnego
super!
Czy myślicie, że w zadaniu 11, kiedy po prostu podstawi się pod abc kolejno 123 to czy byłaby szansa na uznanie zadania?
Na 100% to nie przejdzie ;)
Najlepsza strona do nauki matematyki w internecie, serdecznie polecam
super przygotowanie
Chyba najlepsza strona do nauki
Jest Pan wyjątkowym człowiekiem. Nie każdy chce pomagać, a jak już to słono ta pomoc kosztuje. Dziękuje.
Jaki tam ja Pan, ja jestem ledwie ciut starszy od Was ;) Cieszę się, że mogę pomóc i trzymam kciuki za jak najlepsze wyniki (nie tylko z matematyki!) :)
Witam. Od czego zacząć naukę do matury podstawa ?
Najczęściej uczniowie najpierw oglądają filmik (ale tak uczciwie, w skupieniu, ze zrozumieniem), a następnie przechodzą do zadań. Skąd brać zadania? Można wziąć albo z Szalonych Liczb (pod każdym filmikiem jest link do zadań maturalnych z danego tematu) albo po prostu z wybranej książki/podręcznika. Tu mogę polecić swoją książkę „Matbryk” (można ją kupić np. w sklepiku na Szalonych Liczbach), która jest bardzo dobrze skorelowana z kursem, dzięki czemu dostępne tam zadania świetnie łączą się z tym co omawiam na danej lekcji. Tak nawiasem mówiąc, to akurat ten rozdział jest najbardziej problematyczny do przećwiczenia, bo są tu omówione dość proste rzeczy, które… Czytaj więcej »
Jestem bardzo zadowolona, że zdecydowałam się na wykupienie dostępu do wszystkich filmików. Dzięki temu przygotowanie do matury będzie o wiele prostsze. Stronka jest super, łatwa w użyciu. Ma pan dar do tłumaczenia tych wszystkich zagadnień. Szukałam wielu stron gdzie ktoś pomoże mi to wszystko ogarnąć i nic mi nie podchodziło (średnio u mnie z matematyką). Ale znalazłam!! Gratulacje, świetna robota!!!
Wielkie dzięki za miłe słowa i za zakup dostępu do kursu – to dla mnie naprawdę spora cegiełka do utrzymania i rozwoju tej strony :) Cieszę się, że lekcje się podobają i przede wszystkim są pomocne. Pozdrawiam!