Liczby rzeczywiste – zadania maturalne

D

Krok 1. Uproszczenie całego zapisu.
Aby dodawać do siebie ułamki zwykłe to musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozpiszmy więc najpierw to co jesteśmy w stanie obliczyć i uprośćmy tym samym całe działanie:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1 \\
\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \\
\frac{9}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \\
\frac{1}{a}=\frac{11}{20}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania wymiernego.
Powstało nam typowe równanie wymierne (czyli równanie z niewiadomą w mianowniku), więc możemy je rozwiązać np. wykonując mnożenie na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$1\cdot20=11a \\
11a=20 \\
a=\frac{20}{11}$$

A

$$|5-2|+|1-6|=|3|+|-5|=3+5=8$$

D

Pierwiastek z kwadratu dowolnego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia. Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(D\). O tym, że pozostałe odpowiedzi są błędne możemy się przekonać podstawiając np. \(x=-3\).
Odp. A.
\(\sqrt{x^2}=x \\
\sqrt{(-3)^2}=-3 \\
\sqrt{9}=-3 \\
3=-3 \\
L\neq P\)

Odp. B.
\(|-x|=x \\
|-(-3)|=-3 \\
|3|=-3 \\
3=-3 \\
L\neq P\)

Odp. C.
\(|x-1|=x-1 \\
|-3-1|=-3-1 \\
|-4|=-4 \\
4=-4 \\
L\neq P\)

Odp. D.
\(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1| \\
\sqrt{(-3+1)^2}=|-3+1| \\
\sqrt{(-2)^2}=|-2| \\
\sqrt{4}=2 \\
2=2 \\
L=P\)

C

$$ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)= \\
=a\cdot(b+1)-1\cdot(b+1)=(a-1)(b+1)$$

B

Naszym zadaniem jest przekształcenie tego równania, tak by wyznaczyć z niego wartość \(b\).
$$a=\frac{b}{c-b} \quad\bigg/(c-b) \\
a\cdot(c-b)=b \\
ac-ab=b \\
ac=ab+b \\
ac=b\cdot(a+1) \quad\bigg/:(a+1) \\
b=\frac{ac}{a+1}$$

D

Wbrew pozorom w tym zadaniu nie chodzi o użycie wzorów skróconego mnożenia, bo tradycyjne wzory związane są z dwoma wyrazami, a tutaj w nawiasie mamy aż trzy wyrazy. Najprościej będzie to po prostu wymnożyć na piechotę, porządkując na koniec cały zapis:
$$(3x+1+y)^2=(3x+1+y)\cdot(3x+1+y)= \\
=9x^2+3x+3xy+3x+1+y+3xy+y+y^2= \\
=9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1$$

C

Podstawiamy do wzoru dane z treści zadania, otrzymując:
$$\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{3}{\frac{3}{2}+\frac{4}{2}}= \\
=\frac{3}{\frac{7}{2}}=3:\frac{7}{2}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}$$

A

Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195 \\
5n+10=195 \\
5n=185 \\
n=37$$

B

$$\frac{|3-9|}{-3}=\frac{6}{-3}=-2$$

D

Skoro \(6\cdot8=48\), to reszta z dzielenia liczby \(55\) przez \(8\) jest równa \(55-48=7\).

Udowodniono na podstawie przekształcenia nierówności do postaci \(c+c\gt a+b\).

Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Spróbujmy przekształcić tę nierówność, tak aby móc wyciągnąć z niej jakieś wnioski. Zacznijmy od usunięcia postaci ułamka:
$$\frac{a+b+c}{3}\gt\frac{a+b}{2} \quad\bigg/\cdot6 \\
2a+2b+2c\gt3a+3b \\
2c\gt a+b \\
c+c\gt a+b$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej nierówności.
Skoro liczba \(c\) jest największa spośród wszystkich niewiadomych, to możemy być pewni, że para liczb \(c+c\) jest większa od pary liczb \(a+b\). Dowód można uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy przekształcisz podaną nierówność do postaci typu \(2c\gt a+b\) (patrz: Krok 1.), albo \((c-a)+(c-b)\gt0\) albo \(\frac{-a-b+2c}{6}\gt0\), albo jakiejkolwiek innej podobnej i nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę \(3k^2\) w postaci \(7\cdot(21n^2+12n+1)+5\).

Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie w postaci \(3(7n+2)^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono przekształcając podane równanie.

Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \\
\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \\
0\le a^2-2ab+b^2 \\
0\le (a-b)^2$$

Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) lub \(2a^2+2b^2\ge4ab\) lub \(a^2+b^2-2ab\ge0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.