Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
Funkcja przyjmuje postać \(f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}\) dla współrzędnych wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika \(a\), bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(a=2\). Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:
$$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0 \\
f(x)=2\cdot(x^2-8x+16) \\
f(x)=2x^2-16x+32$$
W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do \(f(x)=2x^2+bx+c\). Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to \(b=-16\) oraz \(c=32\).
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:
$$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$
Znając wartość \(x_{W}\) oraz \(a\) bardzo szybko wyliczymy współczynnik \(b\), korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
4=\frac{-b}{2\cdot2} \\
4=\frac{-b}{4} \\
16=-b \\
b=-16$$
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(c\). Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa \(0\) (wynika to z tego, że współrzędna \(y=0\)). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa \(0\), to oto dowód:
$$y_{W}=\frac{-Δ}{4a} \\
0=\frac{-Δ}{4\cdot2} \\
0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\
0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1) \\
Δ=0$$
W związku z tym:
$$Δ=b^2-4ac \\
0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c \\
0=256-8c \\
8c=256 \\
c=32$$
W ten sposób obliczyliśmy, że \(b=-16\) oraz \(c=32\).
\(b=-16\) oraz \(c=32\)
f(x)=2⋅(x−4)2+0
f(x)=2⋅(x2−8x+16)
Co to za magia? Skąd się wzięło te 8x?
Wzory skróconego mnożenia się kłaniają ;)
(a-b)^2=a^2+2ab+b^2
(x-4)^2=x^2-8x+16
Po co dalej podstawiać wzór na p i q, skoro zadanie jest już zrobione?
Przecież jest napisane, że to jest II sposób na rozwiązanie tego zadania ;)
f(x)=2⋅(x−4)2+0
f(x)=2⋅(x2−8x+16)
f(x)=2×2−16x+32
skąd wzięło się to +16?
To wszystko wynika ze wzoru skróconego mnożenia ;) Chodzi o wzór (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Tym samym (x-4)^2 daje właśnie x^2-8x+16 ;)