Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).

Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$

Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3 \\
\\
(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\
=8n^3+24n^2+24n+8 \\
\\
(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\
=8n^3+48n^2+96n+64$$

Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\
=24n^3+72n^2+120n+72= \\
=24(n^3+3n^2+5n+3)$$

Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

Udowodniono sumując sześciany liczb \(2n\), \(2n+2\) oraz \(2n+4\).