Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).
Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).
W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:
$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$

Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.

Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:
$$(2n)^3=8n^3 \\
\\
(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\
=8n^3+24n^2+24n+8 \\
\\
(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\
=8n^3+48n^2+96n+64$$

Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.

Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:
$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\
=24n^3+72n^2+120n+72= \\
=24(n^3+3n^2+5n+3)$$

Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

Odpowiedź:

Udowodniono sumując sześciany liczb \(2n\), \(2n+2\) oraz \(2n+4\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.