Matura - Matematyka - Maj 2014

Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (matura podstawowa – maj 2014). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2014

Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

matura z matematyki

Wskaż ten układ.

$\begin{cases}
y=x+1 \\
y=-2x+4
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=x-1 \\
y=2x+4
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=x-1 \\
y=-2x+4
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=x+1 \\
y=2x+4
\end{cases}$

Zadanie 2. (1pkt) Jeżeli liczba $78$ jest o $50\%$ większa od liczby $c$, to:

$c=60$

$c=52$

$c=48$

$c=39$

Zadanie 3. (1pkt) Wartość wyrażenia $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ jest równa:

$-2$

$-2\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{3}$

Zadanie 4. (1pkt) Suma $\log_{8}16+1$ jest równa:

$3$

$\frac{3}{2}$

$\log_{8}17$

$\frac{7}{3}$

Zadanie 5. (1pkt) Wspólnym pierwiastkiem równań $(x^2-1)(x-10)(x-5)=0$ oraz $\frac{2x-10}{x-1}=0$ jest liczba:

$-1$

$1$

$5$

$10$

Zadanie 6. (1pkt) Funkcja liniowa $f(x)=(m^2-4)x+2$ jest malejąca, gdy:

$m\in\{-2;2\}$

$m\in(-2;2)$

$m\in(-\infty;-2)$

$m\in(2;+\infty)$

Zadanie 7. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.

matura z matematyki

Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$f(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$

$f(x)=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$

$f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)(x+1)$

Zadanie 8. (1pkt) Punkt $C=(0,2)$ jest wierzchołkiem trapezu $ABCD$, którego podstawa $AB$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=2x-4$. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę $CD$.

$y=\frac{1}{2}x+2$

$y=-2x+2$

$y=-\frac{1}{2}x+2$

$y=2x+2$

Zadanie 9. (1pkt) Dla każdej liczby $x$, spełniającej warunek $-3\lt x\lt0$, wyrażenie $\frac{|x+3|-x+3}{x}$ jest równe:

$2$

$3$

$-\frac{6}{x}$

$\frac{6}{x}$

Zadanie 10. (1pkt) Pierwiastki $x_{1}$, $x_{2}$ równania $2(x+2)(x-2)=0$ spełniają warunek:

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=-1$

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=0$

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2}$

Zadanie 11. (1pkt) Liczby $2, -1, -4$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_{n})$, określonego dla liczb naturalnych $n\ge1$. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

$a_{n}=-3n+5$

$a_{n}=n-3$

$a_{n}=-n+3$

$a_{n}=3n-5$

Zadanie 12. (1pkt) Jeżeli trójkąty $ABC$ i $A'B'C'$ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe $25cm^2$ i $50cm^2$, to skala podobieństwa $\frac{A'B'}{AB}$ jest równa:

$2$

$\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zadanie 13. (1pkt) Liczby: $x-2,\;6,\;12$, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba $x$ jest równa:

$0$

$2$

$3$

$5$

Zadanie 14. (1pkt) Jeżeli $α$ jest kątem ostrym oraz $tgα=\frac{2}{5}$, to wartość wyrażenia $\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}$ jest równa:

$-\frac{11}{23}$

$\frac{24}{5}$

$-\frac{23}{11}$

$\frac{5}{24}$

Zadanie 15. (1pkt) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ z osiami układu współrzędnych jest równa:

$0$

$1$

$2$

$4$

Zadanie 16. (1pkt) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym $60°$ i ramieniu długości $2\sqrt{3}$ jest równa:

$\sqrt{3}$

$3$

$2\sqrt{3}$

$2$

Zadanie 17. (1pkt) Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa $\frac{4}{9}$ długości okręgu, ma miarę:

$160°$

$80°$

$40°$

$20°$

Zadanie 18. (1pkt) O funkcji liniowej $f$ wiadomo, że $f(1)=2$. Do wykresu tej funkcji należy punkt $P=(-2,3)$. Wzór funkcji $f$ to:

$f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$

$f(x)=-\frac{1}{2}x+2$

$f(x)=-3x+7$

$f(x)=-2x+4$

Zadanie 19. (1pkt) Jeżeli ostrosłup ma $10$ krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:

$5$

$7$

$8$

$10$

Zadanie 20. (1pkt) Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

sześć razy dłuższa od wysokości walca

trzy razy dłuższa od wysokości walca

dwa razy dłuższa od wysokości walca

równa wysokości walca

Zadanie 21. (1pkt) Liczba $\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}$ jest równa:

$\frac{1}{225}$

$\frac{1}{15}$

$1$

$15$

Zadanie 22. (1pkt) Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $y=-2^{x-2}$, należy punkt:

$A=(1;-2)$

$B=(2;-1)$

$C=(1;\frac{1}{2})$

$D=(4;4)$

Zadanie 23. (1pkt) Jeżeli $A$ jest zdarzeniem losowym, a $A'$ zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ oraz zachodzi równość $P(A)=2\cdot P(A')$, to:

$P(A)=\frac{2}{3}$

$P(A)=\frac{1}{2}$

$P(A)=\frac{1}{3}$

$P(A)=\frac{1}{6}$

Zadanie 24. (1pkt) Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród $10$ zawodników?

$100$

$90$

$45$

$20$

Zadanie 25. (1pkt) Mediana zestawu danych $2, 12, a, 10, 5, 3$ jest równa $7$. Wówczas:

$a=4$

$a=6$

$a=7$

$a=9$

Zadanie 26. (2pkt) Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=2x^2+bx+c$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $W=(4,0)$. Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że $f(x)=2\cdot(x-4)^2+0$ (patrz: I sposób - Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość współczynnika $b=-16$ (patrz: I sposób - Krok 2. oraz II sposób - Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej.
Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej.
Funkcja przyjmuje postać $f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}$ dla współrzędnych wierzchołka $W=(x_{W};y_{W})$. Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika $a$, bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że $a=2$. Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:
$$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0 \\
f(x)=2\cdot(x^2-8x+16) \\
f(x)=2x^2-16x+32$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do $f(x)=2x^2+bx+c$. Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to $b=-16$ oraz $c=32$.

II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka.
Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika $b$.
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:
$$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$

Znając wartość $x_{W}$ oraz $a$ bardzo szybko wyliczymy współczynnik $b$, korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
4=\frac{-b}{2\cdot2} \\
4=\frac{-b}{4} \\
16=-b \\
b=-16$$

Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika $c$.
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika $c$. Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa $0$ (wynika to z tego, że współrzędna $y=0$). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa $0$, to oto dowód:
$$y_{W}=\frac{-Δ}{4a} \\
0=\frac{-Δ}{4\cdot2} \\
0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\
0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1) \\
Δ=0$$

W związku z tym:
$$Δ=b^2-4ac \\
0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c \\
0=256-8c \\
8c=256 \\
c=32$$

W ten sposób obliczyliśmy, że $b=-16$ oraz $c=32$.

Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie $9x^3+18x^2-4x-8=0$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest $9x^2$, a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę $4$. To oznacza, że:
$$9x^3+18x^2-4x-8=0 \\
9x^2(x+2)-4(x+2) \\
(9x^2-4)(x+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa $0$, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa $0$. Zatem:
$$9x^2-4=0 \quad\lor\quad x+2=0$$

Z działaniem $x+2=0$ nie mamy pewnie problemu, bo tutaj $x=-2$. Jak jednak szybko rozwiązać $9x^2-4=0$? Można to obliczyć dokładnie tak samo jak każdą inną funkcję kwadratową, czyli metodą delty, niestety jest ona dość czasochłonna. Niektóre osoby, które dobrze opanowały wzory skróconego mnożenia pewnie też zauważą, że $9x^2-4=0$ możemy zapisać jako $(3x-2)(3x+2)=0$ i z tego już łatwo wyliczymy poszczególne miejsca zerowe. Najłatwiej będzie rozwiązać to równanie w taki oto sposób:
$$9x^2-4=0 \\
9x^2=4 \\
x^2=\frac{4}{9} \\
x=\sqrt{\frac{4}{9}} \\
x=\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3}$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: $x=-2 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$.

Zadanie 28. (2pkt) Udowodnij, że każda liczba całkowita $k$, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wyrażenie w postaci $3(7n+2)^2$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Jeżeli liczba $k$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $2$ to możemy ją zapisać w postaci $k=7n+2$. Podstawiając tę postać do liczby $3k^2$ otrzymamy:
$$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$

Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez $7$ i daje resztę $5$. Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba $12$. Rozbijmy więc ją sobie na działanie $7+5$ i tak oto:
$$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$

W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez $7$ otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako $21n^2+12n+1$) i jeszcze zostanie nam $5$ reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Zadanie 29. (2pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem $y=\frac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq0$.

matura z matematyki

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji $f$ są większe od $0$.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji $g$ określonej wzorem $g(x)=f(x-3)$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór argumentów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wskażesz miejsce funkcji $g(x)$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Podanie pożądanego zbioru argumentów.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera tylko dla $x\in(2;3)$.

Krok 2. Podanie miejsca zerowego dla funkcji $g(x)=f(x-3)$.
Nasza funkcja $f(x)$ ma tylko jedno miejsce zerowe i jest to $x=3$. Przesunięcie tej funkcji o trzy jednostki w prawo (a tak będzie wyglądać funkcja $g(x)$) sprawi, że miejsce zerowe nadal będzie jedno i tym razem będzie to $x=6$.

Zadanie 30. (2pkt) Ze zbioru liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o $4$ lub $6$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od $1$.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losowanie liczb jest ze zwracaniem, to w pierwszym losowaniu mamy $8$ możliwości wyboru i w drugim losowaniu także mamy $8$ możliwości. Zatem wszystkich kombinacji jest: $|Ω|=8\cdot8=64$.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli spełniające warunki zadania. Są to:
$$(5,1), (6,2), (7,3), (8,4) \\
(7,1), (8,2)$$
Łącznie jest to sześć zdarzeń, czyli $|A|=6$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Zadanie 31. (2pkt) Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

matura z matematyki

Wykaż, że miara kąta wypukłego $ASB$ jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego $SBC$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz sobie odcinek $CS$ i udowodnisz równość kątów $SBC$ oraz $SCB$ i/lub $SBC$ oraz $SAC$ (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zadanie jest najprostsze do udowodnienia w momencie, gdy dorysujemy sobie odcinek pomocniczy $CS$. Powstaną nam w tym momencie dwa trójkąty $ASC$ oraz $SBC$, o których wiemy że są równoramienne i przystające. Skąd to wiemy? Ramiona tych dwóch trójkątów mają długość równą promieniowi koła, więc z tego faktu możemy wysnuć wniosek, że są to trójkąty równoramienne. O tym, że są przystające wiemy dzięki temu, że w treści zadania podano nam informację, że boki $AC$ oraz $BC$ są równej miary - czyli obydwa te trójkąty mają ramiona równej długości i mają tą samą długość podstawy.

To z kolei pozwoli nam wysnuć wniosek, że jeżeli kąt $SBC$ oznaczymy jako $α$, to także kąty $SCB$, $SAC$ oraz $SCA$ będą miały miarę równą $α$ (wiemy to, bo kąty równoramienne mają identyczne miary kątów przy swojej podstawie). Wszystkie ewentualne wątpliwości rozwieje poniższy rysunek.

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie miary kątów $ASC$ oraz $BSC$.
Skoro już ustaliliśmy, że trójkąty $ASC$ oraz $SBC$ mają po dwa kąty o mierze równej $α$, to i trzeci kąt jesteśmy w stanie obliczyć i będzie to $180°-2α$. W związku z tym:
$$|\sphericalangle ASC|=180°-2α \\
|\sphericalangle BSC|=180°-2α$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta $ASB$.
Znając miary kątów wyliczone w drugim kroku możemy teraz obliczyć miarę kąta $ASB$:
$$|\sphericalangle ASB|=360°-|\sphericalangle ASC|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASB|=360°-(180°-2α)-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ASB|=360°-180°+2α-180°+2α \\
|\sphericalangle ASB|=4α$$

W ten oto sposób udowodniliśmy, że miara kąta $ASB$ jest czterokrotnie większa od miary kąta $SBC$.

Zadanie 32. (4pkt) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $198$. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to $1:2:3$. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależności między długościami boków: $x, 2x, 3x$ (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni całkowitej z użyciem jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość jednej z krawędzi prostopadłościanu (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości $x$.
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \\
198=4x^2+6x^2+12x^2 \\
198=22x^2 \\
x^2=9 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam $x=3$.

Znając wartość $x=3$ znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: $x=3$, $2x=6$ oraz $3x=9$.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka $BD$.
Musimy poznać długość odcinka $BD$, tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
3^2+6^2=|BD|^2 \\
9+36=|BD|^2 \\
|BD|^2=45 \\
|BD|=\sqrt{45}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \\
(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \\
45+81=|BH|^2 \\
|BH|^2=126 \\
|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$

Zadanie 33. (5pkt) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość $2,1km$. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy $1$ godzinę i $4$ minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o $1km/h$ mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

5pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma $v$ lub $t$ (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
$t$ - czas wchodzenia na wzgórze
$1$ godzina i $4$ minuty, czyli $1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}$ godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
$\frac{16}{15}-t$ - czas schodzenia ze wzgórza
$v$ - prędkość wchodzenia na wzgórze
$v+1$ - prędkość schodzenia ze wzgórza
$s=2,1$ - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę $s=vt$ i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases}
vt=2,1 \\
(v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1
\end{cases}\begin{cases}
t=\frac{2,1}{v} \\
\frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1
\end{cases}

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy $t=\frac{2,1}{v}$ do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez $30$, tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30 \\
32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v \\
32v^2-63v+32v-63=63v \\
32v^2-94v-63=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: $a=32,\;b=-94,\;c=-63$
$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16} \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem $v=3,5\frac{km}{h}$ i to jest nasza końcowa odpowiedź.

Zadanie 34. (4pkt) Kąt $CAB$ trójkąta prostokątnego $ACB$ ma miarę $30°$. Pole kwadratu $DEFG$, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe $4$. Oblicz pole trójkąta $ACB$.

matura z matematyki
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku kwadratu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość jednego z "krótkich" odcinków np. $DA$, $GC$, $CD$ lub $BG$ (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole jednego z "małych" trójkątów: $P_{ADE}=2\sqrt{3}$ lub $P_{GBF}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}$ lub $P_{DCG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3 pkt
• Gdy obliczysz całą długość jednego z boków trójkąta (czyli obliczysz tak naprawdę przynajmniej dwie miary "krótkich" odcinków, które tworzą jedno ramię trójkąta $ABC$) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pola trzech "małych" trójkątów: $P_{ADE}=2\sqrt{3}$ oraz $P_{GBF}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{3}$ oraz $P_{DCG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństw trójkątów.
Rozpatrzmy sobie trzy małe trójkąty: $DAE$, $CDG$ oraz $GFB$.
- każdy z nich jest prostokątny, co do tego nie mamy chyba wątpliwości.
- skoro $|\sphericalangle DAE|=30°$ to $|\sphericalangle EDA|=60°$ (bo suma kątów w trójkącie $DAE$ musi być równa $180°$).
- skoro $|\sphericalangle EDA|=60°$ oraz $|\sphericalangle GDE|=90°$, to z kątów przyległych widzimy że $|\sphericalangle CDG|=30°$.
- skoro $|\sphericalangle CDG|=30°$ to $|\sphericalangle CGD|=60°$ (bo suma kątów w trójkącie $CDG$ musi być równa $180°$).
- skoro $|\sphericalangle CGD|=60°$ oraz $|\sphericalangle FGD|=90°$, to z kątów przyległych widzimy że $|\sphericalangle BGF|=30°$.
- skoro $|\sphericalangle BGF|=30°$ to $|\sphericalangle GBF|=60°$ (bo suma kątów w trójkącie $GFB$ musi być równa $180°$).
Wszystkie te trójkąty mają więc miary kątów równe $30°, 60°, 90°$.
Dodatkowo każdy z tych trójkątów ma długość jednego z boków równą $2$, bo skoro pole kwadratu jest równe $4$, to:
$$|GD|=|DE|=|FE|=|GF|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinków $DA$, $GC$, $CD$ oraz $BG$.
Wszystkie te długości możemy obliczyć albo wykorzystując cechy trójkątów $30°, 60°, 90°$, albo wykorzystując funkcje trygonometryczne.
a) Obliczenie długości $|DA|$
$$\frac{|DE|}{|DA|}=sin30° \\
\frac{2}{|DA|}=\frac{1}{2} \\
2=\frac{1}{2}\cdot|DA| \\
|DA|=4$$

b) Obliczenie długości $|GC|$
$$\frac{|GC|}{|GD|}=sin30° \\
\frac{|GC|}{2}=\frac{1}{2} \\
|GC|=1$$

c) Obliczenie długości $|CD|$
$$\frac{|CD|}{|GD|}=cos30° \\
\frac{|CD|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|CD|=\sqrt{3}$$

d) Obliczenie długości $|BG|$
$$\frac{|GF|}{|BG|}=cos30° \\
\frac{2}{|BG|}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot|BG| \\
|BG|=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta $ABC$.
$$a=|CD|+|DA|=\sqrt{3}+4 \\
h=|BG|+|GC|=\frac{4\sqrt{3}}{3}+1$$

Podstawiając poszczególne długości boków możemy teraz wyliczyć pole naszego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}+4\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\
P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right) \\
P=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\
P=\frac{12}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2 \\
P=2+\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{16\sqrt{3}}{6}+2 \\
P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$$

Zdobyłeś/aś: 0/50pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Matura podstawowa z matematyki – Maj 2014 – Odpowiedzi

Matura podstawowa z matematyki – Maj 2014 – PDF