W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne różnią się o 4, a jeden z kątów ma miarę 30 stopni

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne różnią się o \(4\), a jeden z kątów ma miarę \(30°\). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować wskazany trójkąt prostokątny, zaznaczając na nim informacje z treści zadania. Kluczowe jest tutaj umiejscowienie kąta \(30°\). Jest to na pewno najmniejszy kąt w tym trójkącie, czyli musi leżeć przy dłuższej przyprostokątnej:

matura z matematyki

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{x}{x+4} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3x=\sqrt{3}(x+4) \\
3x=\sqrt{3}x+4\sqrt{3} \\
3x-\sqrt{3}x=4\sqrt{3} \\
(3-\sqrt{3})x=4\sqrt{3} \\
x=\frac{4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\
x=\frac{(4\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})} \\
x=\frac{12\sqrt{3}+12}{9-3} \\
x=\frac{12\sqrt{3}+12}{6} \\
x=2\sqrt{3}+2$$

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz