Zadania W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne różnią się o 4, a jeden z kątów ma miarę 30 stopni W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne różnią się o \(4\), a jeden z kątów ma miarę \(30°\). Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość: A) \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) B) \(\frac{2\sqrt{3}}{6}\) C) \(2\sqrt{3}-2\) D) \(2\sqrt{3}+2\) Rozwiązanie Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować wskazany trójkąt prostokątny, zaznaczając na nim informacje z treści zadania. Kluczowe jest tutaj umiejscowienie kąta \(30°\). Jest to na pewno najmniejszy kąt w tym trójkącie, czyli musi leżeć przy dłuższej przyprostokątnej: Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z tangensa) możemy zapisać, że: $$tg30°=\frac{x}{x+4} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+4}$$ Mnożąc na krzyż otrzymamy: $$3x=\sqrt{3}(x+4) \\ 3x=\sqrt{3}x+4\sqrt{3} \\ 3x-\sqrt{3}x=4\sqrt{3} \\ (3-\sqrt{3})x=4\sqrt{3} \\ x=\frac{4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\ x=\frac{(4\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})} \\ x=\frac{12\sqrt{3}+12}{9-3} \\ x=\frac{12\sqrt{3}+12}{6} \\ x=2\sqrt{3}+2$$ Odpowiedź D
