Matura – Matematyka – Czerwiec 2015 (stara matura)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Tradycyjnie na początku musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(7x^2-28\) do zera. Możemy to zrobić metodą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(b=0\)), ale w tym konkretnym przypadku możemy te miejsca zerowe wyznaczyć znacznie szybciej:
$$7x^2-28=0 \quad\bigg/:7 \\
x^2-4=0 \\
x^2=4 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym żeby kropki były zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\). Parabola będzie więc wyglądać następująco:


Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$\langle-2;2\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Tradycyjnie w tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^3\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(27\). To oznacza, że:
$$x^4-2x^3+27x-54=0 \\
x^3(x-2)+27(x-2) \\
(x^3+27)(x-2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Równanie mamy w postaci iloczynowej, tak więc aby całość była równa \(0\), to któraś z wartości w nawiasach musi być równa \(0\). Zatem:
$$x^3+27=0 \quad\quad\lor\quad\quad x-2=0 \\
x^3=-27 \quad\quad\lor\quad\quad x=2 \\
x=-3 \quad\quad\lor\quad\quad x=2$$

To oznacza, że rozwiązaniem naszego równania są: \(x=-3 \quad\lor\quad x=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) (patrz: Krok 2.) lub \(f(x)=ax^2+6ax+9a+4\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\
f(x)=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).

Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).

Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\
3=a(-1+3)^2+4 \\
-1=a\cdot2^2 \\
-1=4a \\
a=-\frac{1}{4}$$

Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).

Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że kąty \(ADB\) oraz \(ACB\) są kątami prostymi i dostrzeżesz, że można skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases}
\text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\
\text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2
\end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz sumę wszystkich wyrazów w postaci \(S_{7}=7a_{1}+21r\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy rozpiszesz każdy wyraz powiązując go z \(a_{4}\) np. \(a_{1}=a_{4}-3r\), \(a_{2}=a_{4}-2r\) itd.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że:
$$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7} \\
S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r) \\
S_{7}=7a_{1}+21r$$

Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli:
$$a_{1}+3r=0 \\
a_{1}=-3r$$

Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy:
$$S_{7}=7a_{1}+21r \\
S_{7}=7\cdot(-3r)+21r \\
S_{7}=-21r+21r \\
S_{7}=0$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym losowaniu możemy trafić na jedną z ośmiu cyfr. W drugim losowaniu możemy trafić już tylko na jedną z siedmiu cyfr, bo odpada nam ta cyfra, która była wylosowana za pierwszym razem (losowanie jest bez zwracania). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której otrzymana liczba (utworzona z wylosowanych cyfr) będzie podzielna przez \(4\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,2), (1,6), (2,4), (2,8), (3,2), (3,6), (4,8), \\
(5,2), (5,6), (6,4), (6,8), (7,2), (7,6), (8,4)$$

Warto tutaj zwrócić uwagę, że przykładowo nie da się wylosować zdarzenia \((4,4)\) czy też \((8,8)\), bo cyfry losujemy bez zwracania, czyli cyfry nie mogą się powtarzać. Mamy więc 14 takich liczb, zatem \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{56}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy i zapiszesz zależność między długościami przekątnych np. \(2x\) oraz \(2x+14\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów odgadniesz długości przekątnych.
2 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz równanie z jedną niewiadomą np. \((x+7)^2+x^2=35^2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy ułożysz układ równań z dwiema niewiadomymi i zapiszesz w nim równania typu \(p-q=7\) oraz \(p^2+q^2=35^2\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to połówki przekątnych.
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów odgadniesz długości przekątnych i obliczysz z nich poprawnie pole rombu.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym możemy naszkicować taki oto rysunek:



Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(x+7)^2+x^2=35^2 \\
x^2+14x+49+x^2=1225 \\
2x^2+14x-1176=0 \\
x^2+7x-588=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=7,\;c=-588\)
$$Δ=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-588)=49-(-2352)=49+2352=2401 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-49}{2\cdot1}=\frac{-56}{2}=-28 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+49}{2\cdot1}=\frac{42}{2}=21$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(x=21\).

Krok 4. Zapisanie długości przekątnych rombu.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z rysunku przekątne mają długość \(2x\) oraz \(2x+14\). Skoro wyszło nam, że \(x=21\), to znaczy że przekątne mają długość \(2\cdot21=42\) oraz \(2\cdot21+14=56\).

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni rombu.
Znając długości przekątnych możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot42\cdot56 \\
P=21\cdot56 \\
P=1176$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy wraz z oznaczeniami (patrz: Krok 1.) i zapiszesz jakąś podstawową zależność typu \(S=a+b\).
2 pkt
• Gdy rozpiszesz długość przekątnej podstawy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(ab=\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia.



Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy.
Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=d^2 \\
d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+1^2=(a+b)^2 \\
\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2 \\
a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2 \\
2ab=1 \\
ab=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=ab\cdot H$$

Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy:
$$V=\frac{1}{2}\cdot1 \\
V=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz cechy ciągu arytmetycznego w którym \(a_{1}=775\) oraz \(r=-10\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawisz do niego wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(n=72\) oraz \(n=84\) (patrz: Krok 3.) i nie odrzucisz błędnego rozwiązania.
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik ze względu na popełniony błąd rachunkowy w równaniu kwadratowym, pod warunkiem że przynajmniej jedna z obliczonych wartości \(n\) jest liczbą naturalną.
ALBO
• Gdy wskażesz, że jedynym dobrym rozwiązaniem jest \(n=72\), ale błędnie obliczysz wysokość ostatniej raty.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie cech ciągu arytmetycznego.
Tak naprawdę całą naszą sytuację z treści zadania możemy opisać ciągiem arytmetycznym w którym:
$$a_{1}=775 \\
r=-10 \\
S_{n}=30240$$

Naszym zadaniem jest policzenie ilości wyrazów/rat, czyli \(n\) oraz wartości ostatniej raty, czyli \(a_{n}\).

Krok 2. Obliczenie ilości rat.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
30240=\frac{2\cdot775+(n-1)\cdot(-10)}{2}\cdot n \quad\bigg/\cdot2 \\
60480=(1550-10n+10)\cdot n \\
60480=(-10n+1560)\cdot n \\
60480=-10n^2+1560n \\
-10n^2+1560n-60480=0 \quad\bigg/:(-10) \\
n^2-156n+6048=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-156,\;c=6048\)
$$Δ=b^2-4ac=(-156)^2-4\cdot1\cdot6048=24336-24192=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)-12}{2\cdot1}=\frac{156-12}{2}=\frac{144}{2}=72 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)+12}{2\cdot1}=\frac{156+12}{2}=\frac{168}{2}=84$$

To oznacza, że ilość rat wynosi \(72\) lub \(84\) i póki co żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić.

Krok 4. Obliczenie wysokości ostatniej raty.
Zgodnie z treścią zadania chcemy obliczyć wysokość ostatniej raty. Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - kiedy były \(72\) raty oraz kiedy były \(84\) raty. Do wyznaczenia wysokości ostatnich rat skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Dla \(n=72\):
$$a_{72}=775+(72-1)\cdot(-10) \\
a_{72}=775+71\cdot(-10) \\
a_{72}=775+(-710) \\
a_{72}=65$$

Dla \(n=84\):
$$a_{84}=775+(84-1)\cdot(-10) \\
a_{84}=775+83\cdot(-10) \\
a_{84}=775+(-830) \\
a_{84}=-55$$

Krok 5. Analiza otrzymanych wyników i zapisanie ostatecznego rozwiązania.
Sytuacja w której rata jest ujemna jest sprzeczna z istotą zadania. W związku z tym musimy odrzucić to rozwiązanie, czyli musimy też odrzucić wariant, że rat mogło być \(84\). To oznacza, że całe zadanie ma tylko jedno poprawne rozwiązanie: rat było \(72\), a ostatnia rata była równa \(65zł\).