Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2023 – Odpowiedzi

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Przepis jest na \(8\) gofrów, a my chcemy zrobić \(40\) gofrów, czyli \(5\) razy więcej. To oznacza, że potrzebujemy użyć \(5\) razy więcej jajek. Skoro więc w przepisie użyto \(2\) jajek, to my tych jajek potrzebujemy:
$$5\cdot2=10$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tym razem chcemy zrobić \(72\) gofry, czyli \(9\) razy więcej niż jest w przepisie. To oznacza, że potrzebujemy \(9\) razy więcej mleka. Skoro więc w przepisie użyto \(1\frac{1}{3}\) szklanek mleka, to my tych szklanek potrzebujemy:
$$9\cdot1\frac{1}{3}=9\cdot\frac{4}{3}=\frac{36}{3}=12$$

Zdanie jest więc prawdą.

D

Sześcian liczby \(4\) to \(4^3\), czyli \(64\).

W mianownikach podanych ułamków mamy liczby \(15\) oraz \(25\). Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) tych liczb jest \(75\).

To oznacza, że hasłem do pliku będzie kod \(64T75\).

C

Sprawdźmy po kolei każde z wyrażeń.

Wyrażenie \(G\):
\(G=2x^2+2\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$G=2\cdot1^2+2 \\
G=2\cdot1+2 \\
G=2+2 \\
G=4$$

Wyszedł nam wynik inny niż \(0\), więc już nawet nie musimy sprawdzać wartości dla \(x=-1\). Ta odpowiedź jest błędna.

Wyrażenie \(H\):
\(H=2x^2+2x\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$H=2\cdot1^2+2\cdot1 \\
H=2\cdot1+2 \\
H=2+2 \\
H=4$$

Wyszedł nam wynik inny niż \(0\), więc już nawet nie musimy sprawdzać wartości dla \(x=-1\). Ta odpowiedź jest błędna.

Wyrażenie \(J\):
\(J=2x^2-2\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$J=2\cdot1^2-2 \\
J=2\cdot1-2 \\
J=2-2 \\
J=0$$

\(J=2x^2-2\) dla \(x=-1\) przyjmuje wartość:
$$J=2\cdot(-1)^2-2 \\
J=2\cdot1-2 \\
J=2-2 \\
J=0$$

W obydwu przypadkach wyszedł wynik równy \(0\), więc to jest na pewno poszukiwane wyrażenie.

Wyrażenie \(K\):
\(K=2x^2-2x\) dla \(x=1\) przyjmuje wartość:
$$K=2\cdot1^2-2\cdot1 \\
K=2\cdot1-2 \\
K=2-2 \\
K=0$$

\(K=2x^2-2x\) dla \(x=-1\) przyjmuje wartość:
$$K=2\cdot(-1)^2-2\cdot(-1) \\
K=2\cdot1-(-2) \\
K=2-(-2) \\
K=4$$

Otrzymaliśmy wynik inny niż \(0\), więc ta odpowiedź jest na pewno błędna.

B

Krok 1. Obliczenie grubości książki.
Z rysunku wynika, że na półce o wysokości \(21cm\) mieszczą się dwa rzędy książek, a w każdym z nich mamy po \(6\) książek ułożonych jedna na drugiej. Skoro tak, to grubość jednej książki jest równa:
$$21cm:6=3,5cm$$

Wygląda to więc mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie liczby książek, które można zmieścić na drugiej półce.
Układamy książki jedna obok drugiej, każda z książek ma \(3,5cm\) grubości. Długość półki wynosi \(28cm\), zatem liczba książek, które się tam zmieszczą, wynosi:
$$28cm:3,5cm=8$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Tutaj powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{81}=9\) oraz że \(\sqrt{49}=7\). W takim razie wyrażenie \(\sqrt{81}-\sqrt{49}\) będzie równe:
$$\sqrt{81}-\sqrt{49}=9-7=2$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{144}=12\) oraz że \(\sqrt{25}=5\). W takim razie wyrażenie \(\sqrt{144}+\sqrt{25}\) będzie równe:
$$\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=17$$

D

Jeżeli grusz jest o \(40\%\) więcej niż jabłoni, to moglibyśmy zapisać, że:
\(x\) - liczba jabłoni
\(1,4x\) - liczba grusz

Z treści zadania wynika też, że jabłoni jest o \(50\) mniej niż grusz, co pozwoli nam ułożyć następujące równanie:
$$1,4x-x=50 \\
0,4x=50 \\
x=125$$

To oznacza, że w sadzie rośnie \(125\) jabłoni.

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{10^8}{5^8}=\left(\frac{10}{5}\right)^8=2^8$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Musimy doprowadzić te dwie potęgi albo do jednakowej podstawy, albo do jednakowego wykładnika. Tu powinniśmy dostrzec, że \(25=5^2\), co pozwoli nam rozpisać liczbę \(25^3\) jako:
$$25^3=\left(5^2\right)^3=5^{2\cdot3}=5^6$$

Teraz wracając do naszego iloczynu, moglibyśmy zapisać, że:
$$2^6\cdot25^3=2^6\cdot5^6=(2\cdot5)^6=10^6$$

A

Krok 1. Ustalenie pierwszego wyrażenia.
\(x\) powiększony o \(7\) to \(x+7\). Teraz ten wynik mamy zwiększyć \(4\)-krotnie, czyli zapisalibyśmy, że jest to równe \(4\cdot(x+7)\).

Krok 2. Ustalenie drugiego wyrażenia.
Liczba \(5\)-krotnie większa od \(y\) to \(5y\). Teraz ten wynik mamy powiększyć o \(3\), czyli otrzymamy \(5y+3\).

Poszukiwaną parą wyrażeń algebraicznych jest zatem \(4(x+7)\) oraz \(5y+3\).

B

Krok 1. Wyznaczenie figury, która znajduje się w podstawie ostrosłupa.
Ostrosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie miał \(n+1\) wierzchołków. Skoro nasz ostrosłup ma \(16\) wierzchołków, to:
$$n+1=16 \\
n=15$$

To oznacza, że w podstawie znajduje się piętnastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie miał \(2n\) wierzchołków. Skoro więc w podstawie mamy piętnastokąt, czyli \(n=15\), to liczba wierzchołków będzie równa:
$$2\cdot15=30$$

A

Krok 1. Odczytanie informacji ze skali mapy.
Skala \(1:4000\) oznacza, że \(1cm\) na mapie odpowiada odległości \(4000cm\) w rzeczywistości. Skoro \(100cm=1m\), to \(4000cm\) będzie równe \(40m\).

Krok 2. Obliczenie odległości między przystankami.
Skoro odległość między tymi przystankami na mapie wynosi \(8cm\), a każdy centymetr odpowiada \(40m\) w rzeczywistości, to odległość między przystankami jest równa:
$$8\cdot40m=320m$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wszystkich kul mamy łącznie:
$$18+12=30$$

Skoro jest \(18\) kul białych, to prawdopodobieństwo wylosowania takiej kuli będzie równe:
$$p=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wszystkich kul jest \(30\), a kul czarnych jest \(12\). W takim razie prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jest równe:
$$p=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$

Ułamek \(\frac{2}{5}\) jest większy od \(\frac{1}{3}\), ponieważ \(\frac{2}{5}=0,4\), natomiast \(\frac{1}{3}\approx0,33\). To oznacza, że zdanie jest fałszem.

B

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(CF\).
Spójrzmy na trójkąt \(ECF\). Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątna \(EC\) ma długość \(6cm\), natomiast przeciwprostokątna \(EF\) ma długość \(10cm\).


Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa moglibyśmy zapisać, że:
$$|CF|^2+6^2=10^2 \\
|CF|^2+36=100 \\
|CF|^2=64 \\
|CF|=8 \quad\lor\quad |CF|=-8$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma dodatnią miarę, zatem zostaje nam \(|CF|=8\).

Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta.
Skoro punkty \(E\) i \(F\) są środkami boków \(BC\) i \(CD\), to odcinek \(EC\) jest połową boku krótszego boku prostokąta \(BC\) i analogicznie odcinek \(CF\) jest połową dłuższego boku \(CD\). Skoro tak, to krótszy bok prostokąta ma długość \(|BC|=2\cdot6cm=12cm\), natomiast dłuższy bok prostokąta ma długość \(|CD|=2\cdot8cm=16cm\).

Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta.
Obwód prostokąta będzie zatem równy:
$$Obw=2\cdot12cm+2\cdot16cm \\
Obw=24cm+32cm \\
Obw=56cm$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Odcinki o numerach \(1\) oraz \(7\) są przekątnymi kwadratów, które są skierowane w różne strony. Z własności kwadratów wynika, że przekątne kwadratów jak najbardziej przecinają się pod kątem prostym, więc proste zawierające te odcinki będą względem siebie prostopadłe. Zdanie jest więc prawdą.


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu powinniśmy dostrzec, że odcinkami równoległymi do odcinka o numerze \(5\) będzie co czwarty odcinek występujący w tej układance. Czyli tym samym odcinkami równoległymi będą \(9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37\). Skoro tak, to odcinki o numerach \(5\) oraz \(33\) są względem siebie równoległe, czyli zdanie jest prawdą.

B. 3,

Aby otrzymać kwadrat o polu \(49cm^2\) musielibyśmy mieć kwadrat o boku \(7cm\), ponieważ \(P=7cm\cdot7cm=49cm^2\). Podane w zadaniu figury mają boki o długościach \(3cm\) oraz \(5cm\), więc nie damy rady połączyć ich w taki sposób, by otrzymać kwadrat o boku \(7cm\), ponieważ zarówno \(3cm+3cm=6cm\) jak i \(3cm+5cm=8cm\). To oznacza, że prawidłową odpowiedzią będzie "Nie, ponieważ suma długości dowolnych boków figur \(F_{1}, F_{2}, F_{3}\) nie jest równa \(7cm\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(ACD\) jest równoboczny, czyli tym samym każdy kąt tego trójkąta ma miarę \(60°\). Skoro tak, to kąt \(ACB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ACB|=131°-60°=71°$$

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, a jedną z własności takich trójkątów jest to, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. To oznacza, że w takim razie także kąt \(ABC\) ma miarę \(71°\), czyli zdanie jest fałszem.


Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że w trójkącie \(ABC\) kąty przy podstawie \(BC\) mają miary po \(71°\). Skoro tak, to kąt \(CAB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-71°-71°=38°$$

Kąt \(DAB\) jest sumą kąta \(DAC\) o mierze \(60°\) oraz kąta \(CAB\) o mierze \(38°\), zatem:
$$|\sphericalangle CAB|=60°+38°=98°$$

Zdanie jest więc prawdą.

\(80zł\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że cena biletu do teatru jest o \(64 zł\) większa od ceny biletu do kina. Moglibyśmy więc zapisać, że:
\(x\) - cena biletu do kina
\(x+64\) - cena biletu do teatru

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Wiemy, że za \(4\) bilety do teatru i \(5\) biletów do kina zapłacono \(400zł\), czyli powstaje nam do rozwiązania następujące równanie:
$$4\cdot(x+64)+5\cdot x=400 \\
4x+256+5x=400 \\
9x=144 \\
x=16$$

I tu uwaga, otrzymany wynik oznacza, że cena biletu do kina (a nie teatru!) wynosi \(16zł\).

Krok 3. Obliczenie ceny biletu do teatru.
Cena biletu do teatru jest o \(64zł\) większa od ceny biletu do kina, zatem cena biletu do teatru wynosi:
$$16zł+64zł=80zł$$

\(210m\)

Krok 1. Obliczenie prędkości pociągu.
Z treści zadania wynika, że \(s=700m\) oraz \(t=50s\). Skoro tak, to prędkość pociągu wynosi:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{700m}{50s} \\
v=14\frac{m}{s}$$

Krok 2. Obliczenie długości pociągu.
Wiemy, że prędkość pociągu jest równa trasie, którą pokona on w ciągu \(t=15s\). Skoro tak, to:
$$v=\frac{s}{t} \\
s=v\cdot t \\
s=14\frac{m}{s}\cdot15s \\
s=210m$$

\(10cm\)

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ACD\).
Z treści zadania wynika, że bok \(AC\) ma długośc \(8cm\), a wysokość opuszczona na ten bok ma długość \(2cm\). Skoro tak, to pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot2cm \\
P=8cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Skoro cały czworokąt \(ABCD\) ma pole równe \(48cm^2\) i wiemy, że pole trójkąta \(ACD\) jest równe \(8cm^2\), to pole trójkąta \(ABC\) będzie równe:
$$P_{ABC}=48cm^2-8cm^2 \\
P_{ABC}=40cm^2$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\) (opuszczonej z wierzchołka \(B\)).
Wysokość z wierzchołka \(B\) pada na bok \(AC\), a wiemy, że ten bok ma długość \(8cm\) i tym samym będzie on podstawą naszego trójkąta.


Skoro tak, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta, zapisalibyśmy że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
40cm^2=\frac{1}{2}\cdot8cm\cdot h \\
40cm^2=4cm\cdot h \\
h=10cm$$

\(225cm^3\)

Krok 1. Obliczenie wymiarów pojedynczego klocka.
Spoglądając na rysunek widzimy, że jeden wymiar jest już znany - wysokość klocka ma długość \(5cm\). Pozostałe wymiary (szerokość oraz długość) musimy wyznaczyć samodzielnie. Pomoże nam w tym taki oto szkic tej sytuacji:


Wyznaczmy zatem szerokość naszego klocka. Spoglądamy na lewy bok dużej figury, który składa się z dwóch szerokości oraz jednej długości. Razem daje to długość \(23cm\). Po prawej stronie naszej dużej figury mamy bok składający się z jednej szerokości oraz jednej długości i to ma długość \(20,5cm\). To prowadzi nas do wniosku, że szerokość tego klocka jest równa:
$$23cm-20,5cm=2,5cm$$

I na koniec musimy jeszcze obliczyć długość klocka. Spoglądamy na prawy bok figury i widzimy, że jedna szerokość i jedna długość dają łącznie \(20,5cm\). Skoro szerokość jest równa \(2,5cm\), to tym samym długość będzie równa:
$$20,5cm-2,5cm=18cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości klocka.
Wiemy już, że nasz klocek ma wymiary \(5cm\times2,5cm\times18cm\), zatem jego objętość będzie równa:
$$V=5cm\cdot2,5cm\cdot18cm \\
V=225cm^3$$