Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2018
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Dane są liczby: \(a=log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=log_{4}8\), \(c=log_{4}\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek:
Zadanie 3. (1pkt) Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt0\).
Zadanie 4. (1pkt) Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował:
Zadanie 5. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\).
Stąd wynika, że:
Zadanie 6. (1pkt) Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)
Zadanie 7. (1pkt) Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest:
Zadanie 8. (1pkt) Liczba \(\begin{split}\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\end{split}\) jest równa:
Zadanie 9. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq-2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa:
Zadanie 10. (1pkt) Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest:
Zadanie 11. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla:
Zadanie 12. (1pkt) Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.
Zadanie 13. (1pkt) Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_{2}=2a_{3}\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
Zadanie 14. (1pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa:
Zadanie 15. (1pkt) Liczba \(1-tg40°\) jest:
Zadanie 16. (1pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta \(AOC\) jest równe:
Zadanie 17. (1pkt) Okrąg o środku \(S_{1}=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_{2}=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy:
Zadanie 18. (1pkt) Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12, 13, 2, 13\).
Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(4:3:3:2\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:
Zadanie 20. (1pkt) Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27π\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy:
Zadanie 21. (1pkt) Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy:
Zadanie 22. (1pkt) Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.
Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa:
Zadanie 23. (1pkt) Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:
Zadanie 24. (1pkt) Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest równa:
Zadanie 25. (1pkt) W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe:
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej lub iloczynowej.
Aby przystąpić do rozwiązania tej nierówności to musimy zapisać ją w postaci iloczynowej lub ogólnej, tak aby móc obliczyć miejsca zerowe. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej jest proste - wystarczy wymnożyć to co jest w nawiasie i uprościć otrzymane wyrażenia:
$$2x(1-x)+1-x\lt0 \\
2x-2x^2+1-x\lt0 \\
-2x^2+x+1\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając już postać ogólną możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli tych które znajdują się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\cup(1;+\infty)$$
Zadanie 27. (2pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(b\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(c\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy skorzystasz z postaci kanonicznej i zapiszesz równanie typu \((0-7)^2+q=-5\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować parabolę, której osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=7\):
Z rysunku wynika, że skoro osią symetrii jest prosta \(x=7\), to musi ona przechodzić przez wierzchołek. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że współrzędną iksową wierzchołka paraboli jest \(p=7\).
Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Współrzędną iksową wierzchołka obliczamy ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Wartość współczynnika \(a\) jest znana i wynosi \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie ma żadnej liczby). W związku z tym jesteśmy w stanie obliczyć wartość współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a} \\
7=\frac{-b}{2\cdot1} \\
7=\frac{-b}{2} \\
14=-b \\
b=-14$$
Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Współczynnik \(c\) w postaci ogólnej mówi nam o tym w którym miejscu parabola przecina oś igreków. Przykładowo jak parabola przecina oś igreków w wartości \(y=4\), to współczynnik \(c=4\). Tak się składa, że punkt \(A\) jest właśnie miejscem przecięcia się paraboli z osią igreków (bo ma współrzędną iksową równą \(0\)). W związku z tym możemy zapisać, że \(c=-5\).
Jeżeli o tej własności nie pamiętamy, to do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-14x+c\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=0\) oraz \(y=-5\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=x^2-14x+c \\
-5=0^2-14\cdot0+c \\
-5=0+0+c \\
c=-5$$
Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz sumę kwadratów czterech kolejnych liczb w postaci z wyciągniętą czwórką przed nawiasem np. \(4n(n+1)+6\) (patrz: Krok 2.) lub też \(4(n^2+3n+2)+6\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Ustalmy na początek co to znaczy, że liczba podzielna przez \(8\) daje resztę równą \(6\). To oznacza, że całą liczbę da się zapisać w postaci typu \(8\cdot k+6\), gdzie \(k\) będzie jakimś wyrażeniem składającym się z liczb naturalnych. Wtedy jak podzielimy wyrażenie \(8k+6\) przez \(8\) to otrzymamy wynik równy \(k\) i reszta \(6\).
Skoro interesują nas tylko liczby naturalne, to możemy zapisać, że czterema kolejnymi liczbami naturalnymi są: \(n, n+1, n+2, n+3\). Teraz zgodnie z treścią polecenia będziemy chcieli obliczyć sumę kwadratów tych czterech liczb, czyli będziemy chcieli obliczyć:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2$$
I z takiej postaci też dojdziemy do końcowego rozwiązania, ale będzie ono dość żmudne i długie. Tutaj powinniśmy wpaść na pomysł, żeby za kolejne liczby naturalne przyjąć: \(n-1, n, n+1, n+2\). Co nam da takie zapisanie? Teraz po prostu więcej rzeczy (zwłaszcza z pary \(n-1\) oraz \(n+1\)) zacznie nam się skracać, co znacznie uprości obliczenia.
Krok 2. Obliczenie sumy kwadratu czterech kolejnych liczb.
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami możemy zapisać, że:
$$(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=4n^2+4n+6= \\
=4n(n+1)+6$$
Krok 3. Analiza otrzymanego wyniku i zakończenie dowodzenia.
Musimy teraz udowodnić, że \(4n(n+1)\) jest liczbą podzielną przez \(8\). Póki co to wiemy, że jest na pewno podzielne przez \(4\), bo przed nawiasem mamy właśnie czwórkę. Jeżeli to udowodnimy, to zadanie można uznać za skończone, bo liczba podzielna przez \(8\) powiększona o \(6\), da nam rzeczywiście resztę równą \(6\) po dzieleniu przez \(8\).
Zauważmy, że \(n(n+1)\) jest to jest po prostu mnożenie dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n\cdot(n+1)\). Skoro tak jedna z tych liczb (\(n\) lub \(n+1)\) jest nieparzysta, a jedna (\(n\) lub \(n+1)\) jest parzysta. Iloczyn liczby nieparzystej i parzystej da wynik parzysty. W związku z tym iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli możemy zapisać, że:
$$n(n+1)=2\cdot k$$
Wracając teraz do naszego wyniku, jeżeli podstawimy pod \(n(n+1)\) wartość \(2k\), to otrzymamy:
$$4n(n+1)+6=4\cdot2k+6=8k+6$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że ta liczba po podzieleniu przez \(8\) daje wynik równy \(k\) i reszta \(6\).
Zadanie 29. (2pkt) Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo pary trójkątów \(PCE\) oraz \(PBF\) oraz wyjaśnisz dlaczego skala podobieństwa jest równa \(2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy dorysujesz prostą równoległą do krótszego boku prostokąta, która wychodzi z punktu \(F\) i dostrzeżesz że powstaną w ten sposób trójkąty przystające \(AED\) oraz \(FEG\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy na nasz rysunek pewne oznaczenia. Oznaczmy odcinek \(DE\) jako \(x\), a co za tym idzie odcinek \(EC\) jako \(2x\). Z treści zadania wynika, że odcinek \(BF\) jest równy odcinkowi \(DE\), czyli tutaj także mamy długość \(x\). Dodatkowo oznaczmy już inną niewiadomą boki \(AD\) oraz \(BC\), które mają jednakową miarę (niech to będzie niewiadoma \(y\)), no i niech kluczowy bok \(BP\) ma miarę \(z\).
Naszym zadaniem jest udowodnienie, że trójkąty \(AED\) oraz \(FPB\) są przystające, a skoro mają taką samą podstawę równą \(x\) to musimy tak naprawdę udowodnić, że \(y=z\) (tylko wtedy będą to trójkąty przystające).
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(PCE\) oraz \(PBF\).
Trójkąty \(PCE\) oraz \(PBF\) są na pewno podobne (mają jednakowe miary kątów). Skoro więc trójkąt \(PCE\) ma podstawę równą \(2x\), a trójkąt \(PBF\) ma podstawę dwukrotnie mniejszą, bo równą \(x\), to znaczy że także odcinek \(PC\) musi być dwukrotnie dłuższy od odcinka \(PB\) (czyli skala podobieństwa jest równa \(2\)). Zatem:
$$|PC|=2|PB| \\
y+z=2z \quad\bigg/-z \\
y=z$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że długość \(y\) jest równa długości \(z\). To oznacza, że trójkąty \(AED\) oraz \(FPB\) mają jednakowe długości przyprostokątnych, zatem i przeciwprostokątne muszą mieć tą samą długość. Skoro więc obydwa trójkąty mają boki jednakowych miar, to są to trójkąty przystające.
Zadanie 30. (2pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(tgα+\frac{1}{tgα}\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz postać \(\frac{1}{sinα\cdot cosα}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(sinαcosα=\frac{1}{2}\) (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpisanie wartości poszukiwanego wyrażenia.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Możemy spokojnie przekształcać wszystkie zapisy, bo wiemy że kąt \(α\) jest ostry, a więc nie ma obaw że wykonamy dzielenie przez \(0\), bo \(sinα\gt0\) oraz \(cosα\gt0\). W związku z tym:
$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{1}{\frac{sinα}{cosα}}=\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}= \\
=\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}= \\
=\frac{sin^2α}{sinα\cdot cosα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}= \\
=\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{sinα\cdot cosα}$$
Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα\cdot cosα\).
W mianowniku pojawiła nam się wartość \(sinα\cdot cosα\). Musimy wyznaczyć jej wartość, tak aby dokończyć obliczenia. Tę wartość wyznaczymy z jedynki trygonometrycznej i informacji zawartej w treści zadania, że \(sinα+cosα=\sqrt{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$sinα+cosα=\sqrt{2} \quad\bigg/^2 \\
(sinα+cosα)^2=2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=2 \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=2 \\
1+2sinαcosα=2 \\
2sinαcosα=1 \\
sinαcosα=\frac{1}{2}$$
Krok 3. Dokończenie obliczeń.
Skoro już wiemy, że \(sinαcosα=\frac{1}{2}\), to możemy dokończyć obliczenia z kroku pierwszego:
$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1:\frac{1}{2}=1\cdot2=2$$
Zadanie 31. (2pkt) Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od \(0\) do \(4\)) i liczbę uzyskanych reszek (również od \(0\) do \(4\)). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Za każdym razem rzucając monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych będzie \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2\).
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której orłów jest więcej niż reszek. Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(O,O,O,O), (O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)$$
Widzimy, że takich zdarzeń jest dokładnie pięć, więc możemy zapisać, że \(|A|=5\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$
Zadanie 32. (5pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z funkcji trygonometrycznych zapiszesz równanie typu \(\frac{3}{5}=\frac{b}{c}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie typu \(b^2+16^2=c^2\) (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy połączysz równania warte jeden punkt i otrzymasz równanie typu \(\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:
Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.
Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$cosα=\frac{b}{c} \\
\frac{3}{5}=\frac{b}{c} \\
b=\frac{3}{5}c$$
Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$b^2+H^2=c^2 \\
\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2 \\
\frac{9}{25}c^2+256=c^2 \\
\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16} \\
c^2=400 \\
c=20 \quad\lor\quad c=-20$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).
Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.
Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:
$$b=\frac{3}{5}\cdot20 \\
b=12$$
Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:
$$d=2b \\
d=2\cdot12 \\
d=24$$
Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:
$$a\sqrt{2}=24 \\
a=\frac{24}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{24\sqrt{2}}{2} \\
a=12\sqrt{2}$$
Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:
W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2 \\
h^2+36\cdot2=400 \\
h^2+72=400 \\
h^2=328 \\
h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:
$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \\
P_{b}=48\sqrt{164} \\
P_{b}=48\sqrt{4\cdot41} \\
P_{b}=48\cdot2\sqrt{41} \\
P_{b}=96\sqrt{41}$$
Zadanie 33. (4pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jedno z równań: \(a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r)\) lub \(\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania tworzące układ równań (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy rozwiązując zadanie w dowolny sposób doprowadzisz do sytuacji w której masz już równanie z jedną niewiadomą np. \(2\cdot(-3r)+9r=\frac{3}{4}\).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
a_{6}=2a_{5} \\
S_{10}=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).
W związku z tym:
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\
\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\
\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2a_{1}+8r \\
(2a_{1}+9r)\cdot5=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-a_{1}-3r=0 \\
10a_{1}+45r=\frac{15}{4} \quad\bigg/\cdot4
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-a_{1}-3r=0 \quad\bigg/\cdot40 \\
40a_{1}+180r=15
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-40a_{1}-120r=0 \quad\bigg/\cdot40 \\
40a_{1}+180r=15
\end{cases}$$
Dodając równania stronami otrzymamy:
$$60r=15 \\
r=\frac{1}{4}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:
$$-a_{1}-3r=0 \\
-a_{1}-3\frac{1}{4}=0 \\
-a_{1}-\frac{3}{4}=0 \\
a_{1}=-\frac{3}{4}$$
Zadanie 34. (4pkt) Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz równanie \((1-x)^2+(9-y)^2=68\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy narysujesz wysokość trójkąta wychodzącą z punktu \(C\), która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\) i wyznaczysz równanie prostej powstałej \(CD\), czyli \(y=-2x+11\).
2 pkt
• Gdy podstawisz do równania \((1-x)^2+(9-y)^2=68\) wartość \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\) lub też \(x=2y-3\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(D\), czyli \(D=\left(\frac{19}{5};\frac{17}{5}\right)\).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą w postaci ogólnej z której potem możemy obliczyć deltę (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy ułożysz równania z użyciem wzoru na środek odcinka \(AB\), biorąc pod uwagę fakt, że punkt \(D\) jest środkiem tego odcinka, czyli otrzymasz równania: \(\frac{-1+x_{B}}{2}=\frac{19}{5}\) oraz \(\frac{1+y_{B}}{2}=\frac{17}{5}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na układ współrzędnych znane nam punkty oraz równanie prostej \(AB\), tak aby łatwiej dostrzec co musimy policzyć:
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że boku \(AC\) oraz \(BC\) są równej długości. Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych \(|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}\) oraz \(|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}\) i podstawić tam współrzędne naszych punktów \(A=(-1,1)\), \(C=(1,9)\) oraz \(B=(x,y)\). Otrzymamy wtedy:
$$\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
\sqrt{(1-(-1))^2+(9-1)^2}=\sqrt{(1-x)^2+(9-y)^2} \quad\bigg/^2 \\
(1+1)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
2^2+8^2=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
4+64=(1-x)^2+(9-y)^2 \\
(1-x)^2+(9-y)^2=68$$
Krok 3. Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą.
Póki co mamy równanie z dwiema niewiadomymi - \(x\) oraz \(y\). Pod wartość igreka możemy teraz podstawić równanie z treści zadania, czyli \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Dzięki temu będziemy mieć równanie z jedną niewiadomą. I ten sposób rozwiązania jest dobry (i jest chyba najpopularniejszy), ale sprawi iż w trakcie liczenia będziemy mieć dużo ułamków na swojej drodze, przez co łatwo będzie o błąd. Możemy więc postąpić nieco sprytniej. Przekształcając równanie prostej otrzymamy:
$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2y=x+3 \\
x=2y-3$$
Teraz możemy podstawić to równanie pod naszego iksa i otrzymamy:
$$(1-(2y-3))^2+(9-y)^2=68 \\
(1-2y+3)^2+(9-y)^2=68 \\
(4-2y)^2+(9-y)^2=68 \\
16-16y+4y^2+81-18y+y^2=68 \\
5y^2-34y+97=68 \\
5y^2-34y+29=0$$
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=29\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot29=1156-580=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$
$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)-24}{2\cdot5}=\frac{34-24}{10}=\frac{10}{10}=1 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-34)+24}{2\cdot5}=\frac{34+24}{10}=\frac{58}{10}=\frac{29}{5}$$
Krok 5. Interpretacja otrzymanego wyniku i wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Otrzymaliśmy dwa wyniki: \(y=1\) oraz \(y=\frac{29}{5}\). Spróbujmy zatem wyznaczyć dla obu tych przypadków współrzędną iksową, podstawiając igreki np. do równania \(x=2y-3\).
Dla \(y=1\):
$$x=2\cdot1-3 \\
x=2-3 \\
x=-1$$
Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=-1\) oraz \(y=1\), czyli współrzędne punktu \(A\).
Dla \(y=\frac{29}{5}\):
$$x=2\cdot\frac{29}{5}-3 \\
x=\frac{58}{5}-3 \\
x=\frac{43}{5}$$
Otrzymaliśmy zatem współrzędne \(x=\frac{43}{5}\) oraz \(y=\frac{29}{5}\) i to są właśnie współrzędne punktu \(B\).
Poprzednie
Zakończ
Następne