W trapezie prostokątnym ABCD, w którym AB||CD i |AB|=2|CD|, poprowadzono przekątne AC i BD

W trapezie prostokątnym \(ABCD\), w którym \(AB||CD\) i \(|AB|=2|CD|\), poprowadzono przekątne \(AC\) i \(BD\), przecinające się w punkcie \(S\). Udowodnij, że odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\), prostopadłego do podstaw, jest trzy razy mniejsza niż długość podstawy \(AB\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(CDS\). Są to trójkąty podobne i wiemy to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt, co wynika wprost z własności kątów naprzemianległych oraz wierzchołkowych.
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(CDS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|AB|}{|CD|}$$

Z treści zadania wynika, że \(|AB|=2|CD|\), zatem:
$$k=\frac{2|CD|}{|CD|} \\
k=2$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABS\) jest podstawowy, a trójkąt \(CDS\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku poszukiwaną odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\) i zobaczmy co nam w tym momencie powstanie:
matura z matematyki

Tutaj kluczową obserwacją jest to, co wynika ze skali podobieństwa \(k=2\). Jeżeli wysokość trójkąta \(CDS\) ma długość \(h\), to wysokość trójkąta \(ABS\) będzie dwukrotnie dłuższa, czyli wyniesie \(2h\). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że odcinek \(AD\) ma miarę równą \(h+2h=3h\).

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy teraz na trójkąty \(ABD\) oraz \(PSD\). Te trójkąty są także podobne (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem odcinek \(PS\) jest równoległy do odcinka \(AB\)). Jeżeli więc odcinek \(PD\) jest trzykrotnie krótszy od odcinka \(AD\), to odcinek \(PS\) będzie także trzykrotnie krótszy od odcinka \(AB\).

Możemy to nawet zapisać matematycznie w formie proporcji. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(ABD\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(PSD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|PD|}{|AD|} \\
k=\frac{h}{3h} \\
k=\frac{1}{3}$$

Z tego też względu każdy odcinek trójkąta podobnego \(PSD\) jest trzykrotnie krótszy od odpowiadającemu mu odcinkowi trójkąta podstawowego \(ABD\), zatem \(|PS|=\frac{1}{3}|AB|\), co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Dodaj komentarz