Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 5 i mniejszych od 400 jest równa

Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez \(5\) i mniejszych od \(400\) jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie kluczowych danych na temat ciągu arytmetycznego.
Liczby podzielne przez \(5\) i mniejsze od \(400\) będą tworzyć ciąg w stylu:
$$5,10,15,20,..., 390,395$$

Powstał nam więc ciąg w którym:
$$a_{1}=5 \\
a_{n}=395 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Brakuje nam jeszcze informacji dotyczącej tego ile jest wyrazów w naszym ciągu. W związku z tym:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
395=5+(n-1)\cdot5 \\
395=5+5n-5 \\
5n=395 \\
n=79$$

Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu.
Teraz mamy komplet danych, więc możemy bez problemu obliczyć sumę interesujących nas wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{79}=\frac{5+395}{2}\cdot79 \\
S_{79}=\frac{400}{2}\cdot79 \\
S_{79}=200\cdot79 \\
S_{79}=15800$$

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz