Suma ciągu geometrycznego

Sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}, \text{ dla } q\neq1$$

Widzimy więc wyraźnie, że do obliczenia sumy np. dziesięciu pierwszych wyrazów potrzebujemy znać wartość pierwszego wyrazu oraz ilorazu ciągu.

Przykład 1. Oblicz sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego w którym \(a_{1}=5\) oraz \(q=2\).

$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{6}=a_{1}\cdot\frac{1-q^6}{1-q} \\
S_{6}=5\cdot\frac{1-2^6}{1-2} \\
S_{6}=5\cdot\frac{1-64}{-1} \\
S_{6}=5\cdot\frac{-63}{-1} \\
S_{6}=5\cdot63 \\
S_{6}=315$$

Przykład 2. Oblicz sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wyrażonego wzorem \(a_{n}=3^n\).

Do obliczenia sumy sześciu pierwszych wyrazów potrzebujemy na pewno wartości pierwszego wyrazu oraz ilorazu \(q\). Wartość pierwszego wyrazu obliczymy podstawiając do wzoru \(n=1\):
$$a_{1}=3^1=3$$

Wartość \(q\) możemy obliczyć dzieląc wartość \(a_{2}\) przez \(a_{1}\). Wartość \(a_{1}\) mamy już policzoną, natomiast \(a_{2}\) obliczymy niemalże identycznie jak \(a_{1}\), z tą tylko różnicą że tym razem podstawimy \(n=2\):
$$a_{2}=3^2=9 \\
\quad \\
q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{9}{3}=3$$

Znając wartości \(a_{1}\) oraz \(q\) możemy obliczyć sumę sześciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{6}=a_{1}\cdot\frac{1-q^6}{1-q} \\
S_{6}=3\cdot\frac{1-3^6}{1-3} \\
S_{6}=3\cdot\frac{1-729}{-2} \\
S_{6}=3\cdot\frac{-728}{-2} \\
S_{6}=3\cdot364 \\
S_{6}=1092$$

Przykład 3. Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego w którym \(a_{2}=8\sqrt{3}\) oraz \(q=4\).

Do obliczenia sumy pięciu pierwszych wyrazów brakuje nam znajomości wartości pierwszego wyrazu. Obliczymy ją ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{2}=a_{1}\cdot q^{2-1} \\
a_{2}=a_{1}\cdot q^{1}$$

$$8\sqrt{3}=a_{1}\cdot4^{1} \\
8\sqrt{3}=a_{1}\cdot4 \quad\bigg/:4 \\
a_{1}=2\sqrt{3}$$

Teraz kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu to możemy przejść do obliczeń sumy pięciu początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{5}=a_{1}\cdot\frac{1-q^5}{1-q} \\
S_{5}=2\sqrt{3}\cdot\frac{1-4^5}{1-4} \\
S_{5}=2\sqrt{3}\cdot\frac{1-1024}{-3} \\
S_{5}=2\sqrt{3}\cdot\frac{-1023}{-3} \\
S_{5}=2\sqrt{3}\cdot341 \\
S_{5}=682\sqrt{3}$$

Zobacz też: Ciąg geometryczny

Dodaj komentarz