W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).

w pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna

Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisanie wzoru na pole pierścienia.

Pole pierścienia możemy zapisać jako różnicę między polem powierzchni dużego koła (o promieniu duże \(R\)) i małego (o promieniu małe \(r\)), zatem:
$$P=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$$

No i teraz naszym zadaniem jest doprowadzenie do sytuacji w której pozbędziemy się wartości promieni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Wiedząc, że styczna jest zawsze prostopadła do promienia okręgu, możemy stworzyć następujący trójkąt prostokątny:

w pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna

Krok 3. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(R^2-r^2\) z Twierdzenia Pitagorasa.

Podstawiając do Twierdzenia Pitagorasa dane i oznaczenia z naszego rysunku otrzymamy:
$$r^2+5^2=R^2 \\
r^2+25=R^2 \\
25=R^2-r^2$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Podstawiając wartość \(R^2-r^2\) do wzoru na pole pierścienia otrzymamy, że:
$$P=π(R^2-r^2) \\
P=25π$$

I taki zapis kończy nasze dowodzenie, bo udało nam się określić wzór na pole pierścienia bez występowania długości promieni.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!