W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość \(10\) i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.
Pole pierścienia możemy zapisać jako różnicę między polem powierzchni dużego koła (o promieniu duże \(R\)) i małego (o promieniu małe \(r\)), zatem:
$$P=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$$
No i teraz naszym zadaniem jest doprowadzenie do sytuacji w której pozbędziemy się wartości promieni.
Wiedząc, że styczna jest zawsze prostopadła do promienia okręgu, możemy stworzyć następujący trójkąt prostokątny:
Podstawiając do Twierdzenia Pitagorasa dane i oznaczenia z naszego rysunku otrzymamy:
$$r^2+5^2=R^2 \\
r^2+25=R^2 \\
25=R^2-r^2$$
Podstawiając wartość \(R^2-r^2\) do wzoru na pole pierścienia otrzymamy, że:
$$P=π(R^2-r^2) \\
P=25π$$
I taki zapis kończy nasze dowodzenie, bo udało nam się określić wzór na pole pierścienia bez występowania długości promieni.
Udowodniono wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.
