Kąt środkowy i wpisany – zadania maturalne

A

Chcąc obliczyć to zadanie wystarczy skorzystać z własności kątów środkowych i wpisanych, pamiętając o tym, że każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę \(60°\). Widzimy, że kąty \(ACB\) oraz \(ASB\) są oparte na tym samym łuku. Skoro kąt \(ACB\) wpisany na okręgu ma \(60°\), to kąt środkowy \(ASB\) ma \(2\cdot60°\), czyli \(120°\).

Tak na marginesie - to zadanie dałoby się praktycznie rozwiązać bez obliczeń, bo już z samego rysunku widać, że zaznaczony kąt jest kątem rozwartym, a tylko \(120°\) jest takim kątem.

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BSE\).
Dorysujmy sobie odcinek \(SE\) i obliczmy miarę kąta środkowego \(BSE\).



Widzimy, że kąt ten stanowi trzy z dziesięciu "cząstek" kąta pełnego, zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle BSE|=\frac{3}{10}\cdot360° \\
|\sphericalangle BSE|=108°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BGE\).
Kąt \(BGE\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(BSE\), którego miarę obliczyliśmy przed chwilą. W związku z tym zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych kąt ten będzie dwa razy mniejszy od kąta \(BSE\):
$$|\sphericalangle BGE|=108°:2 \\
|\sphericalangle BGE|=54°$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dzięki informacji, która mówi o tym że punkty \(A, B, C, D\) podzieliły nam okrąg na cztery równe łuki, jesteśmy w stanie stwierdzić, że odległości pomiędzy sąsiednimi punktami na okręgu są identycznej długości, a zaznaczony odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu. To oznacza, że trójkąt \(ADC\) jest równoramienny i w dodatku prostokątny, bo trójkąt oparty na średnicy jest zawsze prostokątny.

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACD\).
Jeżeli suma katów w trójkącie prostokątnym \(ACD\) jest równa \(180°\), a kąt \(|\sphericalangle ADC|=90°\), to:
$$|\sphericalangle ACD|+|\sphericalangle DAC|=180°-90°=90°$$

Skoro trójkąt \(ACD\) jest dodatkowo równoramienny to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć równą miarę. Zatem:
$$|\sphericalangle ACD|=90°:2=45°$$

C

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAO\).
Trójkąt \(AOC\) jest na pewno równoramienny, a jego ramionami są boki \(AO\) oraz \(CO\). Skąd to wiemy? Obydwa te boki są długością promienia naszego okręgu. To z kolei oznacza, że kąty przy podstawie \(AC\) mają równą miarę, zatem:
$$|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle ACO|=56°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(COB\), czyli kąta \(α\).
Obliczony przed chwilą kąt \(CAO\) oraz nasz kąt \(α\) są oparte na tym samym łuku \(CB\). W związku z tym miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Zatem:
$$α=56°\cdot2=112°$$

\(150°\)

Wystarczy tak naprawdę dorysować ramiona i widzimy wyraźnie, że nasz kąt będzie stanowił \(\frac{5}{12}\) miary kąta pełnego, bo zajmuje on pięć kawałków z dwunastu na jakie jest ten okrąg podzielony. Zatem miara kąta środkowego będzie równa:
$$\frac{5}{12}\cdot360°=150°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że odcinek \(|AB|\) ma długość \(\frac{5}{12}\) długości okręgu.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że dwa kolejne punkty okręgu wraz ze środkiem okręgu wyznaczają kąt \(30°\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(|\sphericalangle ABC|=45°, |\sphericalangle BCA|=75°, |\sphericalangle CAB|=60°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy dostrzec, że trójkąty \(ABS\), \(BSC\) i \(ASC\) są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako \(α\) kąt \(BAS\), to także kąt \(ABS\) jest równy \(α\).

Z treści zadania wiemy też, że kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\), czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta \(CBS\) jest równa \(2α\). To oznacza, że i kąt \(BCS\) ma miarę \(2α\). I analogicznie skoro kąt \(ACS\) jest równy \(3α\), to i kąt \(CAS\) ma miarę \(3a\). Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.



Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\).
Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\). Na rysunku widzimy, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCA|+|\sphericalangle CAB|=3α+5α+4α=12α$$

To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość \(α\) i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.
$$12α=180° \\
α=15°$$

Zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=3α=3\cdot15°=45° \\
|\sphericalangle BCA|=5α=5\cdot15°=75° \\
|\sphericalangle CAB|=4α=4\cdot15°=60°$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz miary kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) używając jednej zmiennej, np. \(|\sphericalangle BAS|=α\), \(|\sphericalangle ACS|=3α\) i \(|\sphericalangle CBS|=2α\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy oprócz zapisania miar kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) dostrzeżesz, że poszczególne trójkąty są równoramienne i tym samym będą miały one jednakowe miary przy swoich podstawach (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy oprócz zapisania miar kątów \(BAS\), \(ACS\) i \(CBS\) wykorzystasz własności kątów środkowych i wpisanych i tym samym zapiszesz odpowiedni układ równań (może to być układ trzech równań), który pozwoli obliczyć miary tych kątów.
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie \(3α+5α+4α=180°\) i/lub obliczysz, że \(α=15°\).
ALBO
• Gdy obliczysz miarę jednego kąta trójkąta np. \(|\sphericalangle CAB|=60°\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów równoramiennych i przystających.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zadanie jest najprostsze do udowodnienia w momencie, gdy dorysujemy sobie odcinek pomocniczy \(CS\). Powstaną nam w tym momencie dwa trójkąty \(ASC\) oraz \(SBC\), o których wiemy że są równoramienne i przystające. Skąd to wiemy? Ramiona tych dwóch trójkątów mają długość równą promieniowi koła, więc z tego faktu możemy wysnuć wniosek, że są to trójkąty równoramienne. O tym, że są przystające wiemy dzięki temu, że w treści zadania podano nam informację, że boki \(AC\) oraz \(BC\) są równej miary - czyli obydwa te trójkąty mają ramiona równej długości i mają tą samą długość podstawy.

To z kolei pozwoli nam wysnuć wniosek, że jeżeli kąt \(SBC\) oznaczymy jako \(α\), to także kąty \(SCB\), \(SAC\) oraz \(SCA\) będą miały miarę równą \(α\) (wiemy to, bo kąty równoramienne mają identyczne miary kątów przy swojej podstawie). Wszystkie ewentualne wątpliwości rozwieje poniższy rysunek.



Krok 2. Wyznaczenie miary kątów \(ASC\) oraz \(BSC\).
Skoro już ustaliliśmy, że trójkąty \(ASC\) oraz \(SBC\) mają po dwa kąty o mierze równej \(α\), to i trzeci kąt jesteśmy w stanie obliczyć i będzie to \(180°-2α\). W związku z tym:
$$|\sphericalangle ASC|=180°-2α \\
|\sphericalangle BSC|=180°-2α$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ASB\).
Znając miary kątów wyliczone w drugim kroku możemy teraz obliczyć miarę kąta \(ASB\):
$$|\sphericalangle ASB|=360°-|\sphericalangle ASC|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASB|=360°-(180°-2α)-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ASB|=360°-180°+2α-180°+2α \\
|\sphericalangle ASB|=4α$$

W ten oto sposób udowodniliśmy, że miara kąta \(ASB\) jest czterokrotnie większa od miary kąta \(SBC\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz sobie odcinek \(CS\) i udowodnisz równość kątów \(SBC\) oraz \(SCB\) i/lub \(SBC\) oraz \(SAC\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.