Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).
W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\
\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\
|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\
\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.
Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\
3a^2+4a^2=588 \\
7a^2=588 \\
a^2=84 \\
a=\sqrt{4\cdot21} \\
a=2\sqrt{21}$$
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.
Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=21\sqrt{3}$$
Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$
Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\
V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\
V=21\sqrt{7}$$
\(V=21\sqrt{7}\)
