Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2014
Arkusz maturalny zawiera 24 zadania zamknięte oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(0,6\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{8}\). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy:
Zadanie 2. (1pkt) Dany jest okrąg o środku \(S=(-6,-8)\) i promieniu \(2014\). Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest okrąg o środku w punkcie \(S_{1}\). Odległość między punktami \(S\) i \(S_{1}\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Rozwiązaniami równania \((x^3-8)(x-5)(2x+1)=0\) są liczby:
Zadanie 4. (1pkt) Cena towaru została podwyższona o \(30\%\), a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o \(10\%\). W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o:
Zadanie 5. (1pkt) Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorami \(f(x)=-5x+1\) oraz \(g(x)=5^x\). Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji wynosi:
Zadanie 6. (1pkt) Wyrażenie \((3x+1+y)^2\) jest równe:
Zadanie 7. (1pkt) Połowa sumy \(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}\) jest równa:
Zadanie 8. (1pkt) Równania \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) oraz \(y=-\frac{4}{3}\) opisują dwie proste:
Zadanie 9. (1pkt) Na płaszczyźnie dane są punkty \(A=(\sqrt{2},\sqrt{6})\), \(B=(0,0)\) i \(C=(\sqrt{2},0)\). Kąt \(BAC\) jest równy:
Zadanie 10. (1pkt) Funkcja \(f\) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \(x\) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \(f\) zawiera dokładnie:
Zadanie 11. (1pkt) Ekipa złożona z \(25\) pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu \(156\) dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu \(100\) dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o:
Zadanie 12. (1pkt) Z sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości a odcięto ostrosłup \(ABDE\) (zobacz rysunek).
Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?
Zadanie 13. (1pkt) W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \(A=(2,4)\), która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\).
Funkcja \(f\) może być opisana wzorem:
Zadanie 14. (1pkt) Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2}, 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2}, -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2}, 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie:
Zadanie 15. (1pkt) Liczba \(sin150°\) jest równa liczbie:
Zadanie 16. (1pkt) Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \(1m\), a bok każdego z następnych trójkątów jest o \(10cm\) dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \(5,9m\). Ile trójkątów przedstawia mural?
Zadanie 17. (1pkt) Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości \(20\) tworzy z podstawą kąt \(67,5°\). Pole tego trójkąta jest równe:
Zadanie 18. (1pkt) Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \(b\). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \(a\) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \(b\)?
Zadanie 19. (1pkt) Na okręgu o środku \(S\) leżą punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą \(AC\) jest równy \(21°\) (zobacz rysunek).
Kąt \(α\) między cięciwami \(AD\) i \(CD\) jest równy:
Zadanie 20. (1pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x\) jest równa \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
Zadanie 21. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=-\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\), \(a_{3}=-2\sqrt{2}\). Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \(a_{10}\), jest równy:
Zadanie 22. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{24-4n}{n}\) dla \(n\ge1\). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
Zadanie 23. (1pkt) Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p_{i}\) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia \(i\) oczek w \(i\)-tym rzucie. Wtedy:
Zadanie 24. (1pkt) Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(4^x=9\).
Zadanie 25. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(-x^2-4x+21\lt0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-10}{2\cdot(-1)}=\frac{4-10}{-2}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+10}{2\cdot(-1)}=\frac{4+10}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, to w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów \(x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)\).
Zadanie 26. (2pkt) Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego i obliczysz, że \(\sqrt{Δ}=\sqrt{73}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0 \\
x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2) \\
2x+4=(2x+1)\cdot(x-2) \\
2x+4=2x^2-4x+x-2 \\
2x+4=2x^2-3x-2 \\
-2x^2+5x+6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie 27. (2pkt) Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze \(100\%\) pierwiastka pozostało \(50\%\) tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po \(x\) okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\). W przypadku izotopu jodu \(^{131}I\) czas połowicznego rozpadu jest równy \(8\) dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \(1g\) \(^{131}I\) nie więcej niż \(0,125g\) tego pierwiastka.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę okresów \(n=3\), ale nie zapiszesz że będą to \(24\) dni.
ALBO
• Gdy zapiszesz nierówność (lub ewentualnie równanie) w postaci typu: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8}\) albo \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3\).
ALBO
• Gdy odczytasz odpowiedź z wykresu funkcji wykładniczej \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
I sposób - krok po kroku:
Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
\(1g\) - tyle jest na początku
\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach
\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach
\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach
To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).
II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$
Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).
Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.
Zadanie 28. (2pkt) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przeprowadzisz niepełne dowodzenie np. uwzględnisz jedynie wariant \((3n+1)^2\) pomijając \((3n+2)^2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(n\) - liczba naturalna
\(3n\) - liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))
Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).
Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).
Musimy zweryfikować obydwa warianty.
Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+1\):
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1= \\
=3(3n^2+2n)+1$$
Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+2\):
$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4= \\
=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$
W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.
Zadanie 29. (2pkt) Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez miejscowość \(B\), która znajduje się w połowie drogi z \(A\) do \(C\). Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z \(A\) do \(B\) była równa \(40km/h\), a na trasie z \(B\) do \(C\) wyniosła \(60km/h\). Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z \(A\) do \(C\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawną zależność średniej prędkości np. \(V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s\) - trasa z punktu \(A\) do \(C\)
\(s_{AB}=s_{BC}=\frac{1}{2}s\) - trasa z punktu \(A\) do \(B\) oraz z \(B\) do \(C\) (bo punkt \(B\) znajduje się dokładnie w połowie drogi)
\(t_{AB}\) - czas jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(t_{BC}\) - czas jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
\(v_{AB}=40\) - prędkość jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(v_{BC}=60\) - prędkość jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
Krok 2. Zapisanie wzoru na czas jazdy.
Korzystając ze wzoru na prędkość możemy wyznaczyć wzór na czas jazdy:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$
Spróbujmy teraz wyznaczyć wzory na czas jazdy na poszczególnych odcinkach.
Czas jazdy na trasie \(AB\):
$$t_{AB}=\frac{s_{AB}}{v_{AB}} \\
t_{AB}=\frac{\frac{1}{2}s}{40} \\
t_{AB}=\frac{1}{80}s=\frac{s}{80}$$
Czas jazdy na trasie \(BC\):
$$t_{BC}=\frac{s_{BC}}{v_{BC}} \\
t_{BC}=\frac{\frac{1}{2}s}{60} \\
t_{BC}=\frac{1}{120}s=\frac{s}{120}$$
Krok 3. Obliczenie wartości średniej prędkości na całej trasie.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami droga jest równa \(s\), a czas całej jazdy będzie równy \(t_{AB}+t_{BC}\), zatem:
$$\require{cancel}
V=\frac{s}{t_{AB}+t_{BC}} \\
V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}} \\
V=\frac{s}{\frac{3s}{240}+\frac{2s}{240}} \\
V=\frac{s}{\frac{5s}{240}} \\
V=s:\frac{5s}{240} \\
V=\cancel{s}\cdot\frac{240}{5\cancel{s}} \\
V=\frac{240}{5} \\
V=48\left[\frac{km}{h}\right]$$
Średnia prędkość na całej trasie jest więc równa \(48km/h\).
Zadanie 30. (4pkt) Zakupiono \(16\) biletów do teatru, w tym \(10\) biletów na miejsca od \(1.\) do \(10.\) w pierwszym rzędzie i \(6\) biletów na miejsca od \(11.\) do \(16.\) w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że \(2\) wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od \(1\) do \(16\) (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na \(16\) różnych sposobów (bo dostanie numer od \(1\) do \(16\)). Drugiej osobie możemy dać bilet na \(15\) sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$
Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16) \\
(2,1), (2,3), (2,4)... (2,16) \\
... \\
(16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)$$
Otrzymaliśmy \(16\) różnych wierszy, a w każdym wierszu jest \(15\) różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu \((1,1), (2,2)\) itd.). Łącznie jest ich więc \(16\cdot15=240\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na \(1.\) miejscu, a Małgosia na \(2.\) miejscu (czyli \((1,2)\)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na \(2.\) miejscu i Małgosia siedząca na \(1.\) miejscu (zdarzenie \((2,1)\)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) \\
(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$
W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16) \\
(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$
Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: \(|A|=28\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$
Zadanie 31. (4pkt) W trapezie \(ABCD\) (\(AB||CD\)) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO|:|OC|=5:1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz relacje między polami dwóch dowolnych trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole jednego z trójkątów: \(ABO\) i\lub \(OCD\) i\lub \(ABD\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(OBC\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pola trójkąta \(OCD\) oraz \(ACD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\), możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować:
Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(OCD\) (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to:
$$P_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h \\
P_{OCD}=0,5x\cdot h$$
Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(AOD\) (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to:
$$P_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot h \\
P_{AOD}=2,5x\cdot h$$
Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(AOD\) jest pięciokrotnie większe od trójkąta \(OCD\). Skoro więc \(P_{AOD}=10\), to \(P_{OCD}=10:5=2\).
Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta \(ACD\):
$$P_{ACD}=P_{AOD}+P_{OCD}=10+2=12$$
Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów \(ABO\) i \(OCD\).
Musimy zauważyć, że trójkąty \(ABO\) i \(OCD\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy?
\(|\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle DOC| \Rightarrow\) kąty wierzchołkowe
\(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle DCA| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe
\(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle CDB| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe
Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek \(AO\) jest pieć razy dłuższy od odcinka \(OC\), to skala podobieństwa wynosi \(k=5\). Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są \(k\) razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest \(k^2\) większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta \(ABO\) jest \(5^2=25\) razy większe od pola trójkąta \(OCD\), czyli:
$$P_{ABO}=25\cdot2=50$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(OBC\).
Spójrzmy na duże trójkąty \(ABD\) oraz \(ABC\). Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę \(|AB|\) oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta \(ABD\) możemy obliczyć bardzo szybko:
$$P_{ABD}=P_{ABO}+P_{AOD} \\
P_{ABD}=50+10 \\
P_{ABD}=60$$
Skoro tak, to także \(P_{ABC}=60\), zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta \(OBC\):
$$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{OBC} \\
60=50+P_{OBC} \\
P_{OBC}=10$$
Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników:
$$P_{ABCD}=P_{ABO}+P_{AOD}+P_{OBC}+P_{OCD} \\
P_{ABCD}=50+10+10+2 \\
P_{ABCD}=72$$
Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie 32. (4pkt) Punkty \(A=(3,3)\) i \(B=(9,1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), a punkt \(M=(1,6)\) jest środkiem boku \(AC\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \(C\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.) oraz gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt \(C\) (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt \(D\), którego współrzędnych poszukujemy.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka \(AC\), bowiem znamy współrzędne środka \(M\) i znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu \(C\). Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
1=\frac{3+x_{C}}{2} \\
2=3+x_{C} \\
x_{C}=-1 \\
\text{oraz}\\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
6=\frac{3+y_{C}}{2} \\
12=3+y_{C} \\
y_{C}=9$$
Współrzędne punktu \(C\) to w takim razie \(C=(-1;9)\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Potrzebujemy znać równanie prostej \(AB\), bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(D\). Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0 \\
(y-3)6-(-2)(x-3)=0 \\
6y-18-(-2x+6)=0 \\
6y-18+2x-6=0 \\
6y+2x-24=0 \\
6y=-2x+24 \\
y=-\frac{2}{6}x+4 \\
y=-\frac{1}{3}x+4$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(y=-\frac{1}{3}x+4\) przechodzącej przez punkt \(C\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=-\frac{1}{3}\), to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$
Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór \(y=3x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\), tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt \(C\). Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b \\
9=3\cdot(-1)+b \\
9=-3+b \\
b=12$$
Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem \(y=3x+12\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+4 \\
y=3x+12
\end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3 \\
-x+12=9x+36 \\
-10x=24 \\
x=-2,4$$
Drugą współrzędną obliczymy podstawiając \(x=-2,4\) do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12 \\
y=-7,2+12 \\
y=4,8$$
To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są \(D=(-2,4;\;4,8)\).
Zadanie 33. (4pkt) Tworząca stożka ma długość \(17\), a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o \(22\). Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa i doprowadzisz je do postaci w której jedyną niewiadomą jest długość promienia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=15\) oraz \(H=8\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz obliczyć pole powierzchni całkowitej (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie przekrój stożka i zaznaczmy na nim odpowiednie miary i oznaczenia:
Warto sobie od razu zapisać, że zgodnie z treścią zadania wysokość stożka jest krótsza o \(22\) od średnicy podstawy (średnicy, nie promienia!). Zatem:
$$H=2r-22$$
Krok 2. Wyznaczenie długości promienia podstawy.
Możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, podstawiając za wysokość \(H=2r-22\). Otrzymamy wtedy:
$$r^2+H^2=17^2 \\
r^2+(2r-22)^2=289 \\
r^2+4r^2-88r+484=289 \\
5r^2-88r+195=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-88,\;c=195\)
$$Δ=b^2-4ac=(-88)^2-4\cdot5\cdot195=7744-3900=3844 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3844}=62$$
$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)-62}{2\cdot5}=\frac{88-62}{10}=\frac{26}{10}=2,6 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)+62}{2\cdot5}=\frac{88+62}{10}=\frac{150}{10}=15$$
Obydwa rozwiązania są póki co dobre, żadnego z nich nie możemy odrzucić (odrzucilibyśmy np. wtedy, gdyby któraś z wartości wyszła ujemna).
Krok 4. Obliczenie wysokości stożka.
Jeśli \(r_{1}=2,6\), to \(H_{1}=2\cdot2,6-22=5,2-22=-16,8\)
Jeśli \(r_{2}=15\), to \(H_{2}=2\cdot15-22=30-22=8\)
W przypadku pierwszej pary wyszła nam ujemna wysokość, więc odrzucamy całe to rozwiązanie. To oznacza, że jest tylko jedna para liczb, która spełnia warunki naszego zadania: \(r=15\) oraz \(H=8\).
Krok 5. Obliczenie objętości stożka.
Znając promień podstawy i wysokość stożka możemy już bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\
V=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot8π \\
V=\frac{1}{3}\cdot225\cdot8π \\
V=\frac{1}{3}\cdot1800π \\
V=600π$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej.
$$P_{c}=πr\cdot(r+l) \\
P_{c}=π\cdot15\cdot(15+17) \\
P_{c}=π\cdot15\cdot32 \\
P_{c}=480π$$
Poprzednie
Zakończ
Następne
Punktacja nie jest adekwatna do tego zadania
Musisz podpowiedzieć mi o którym zadaniu mówisz :)
Zadanie 18 za 1 punkt !!!
Kilkanaście minut mi zajęło… tyle co zadanie za 4-5 punktów!
SZOK !!!
Brawo dla tego kto to wymyślił… ale nie za 1 pkt…. :-(
Jak się liczy kwadrat sumy 3 liczb? (x + y + z)^2 = ?
Zrobiłem: [(x + y) + z]^2 ….. na logikę, ale nie spotkałem takiego czegoś na podstawie….
Ogólnie trudna matura próbna 2014 CKE, niektóre zadania za 1 punkt bardzo czasochłonne (zad.18 to już przesada). Aż mnie zmęczyła i dojechałem do zad.18 i jutro skończę….
Kwadratu sumy trzech liczb raczej nie będzie na maturze podstawowej ;) Jeśli już, to można ręcznie to wymnożyć, bo żadnego wzoru na to w tablicach nie ma ;)