Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2014

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-10}{2\cdot(-1)}=\frac{4-10}{-2}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+10}{2\cdot(-1)}=\frac{4+10}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, to w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów \(x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego i obliczysz, że \(\sqrt{Δ}=\sqrt{73}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0 \\
x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2) \\
2x+4=(2x+1)\cdot(x-2) \\
2x+4=2x^2-4x+x-2 \\
2x+4=2x^2-3x-2 \\
-2x^2+5x+6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę okresów \(n=3\), ale nie zapiszesz że będą to \(24\) dni.
ALBO
• Gdy zapiszesz nierówność (lub ewentualnie równanie) w postaci typu: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8}\) albo \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3\).
ALBO
• Gdy odczytasz odpowiedź z wykresu funkcji wykładniczej \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

I sposób - krok po kroku:
Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
\(1g\) - tyle jest na początku
\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach
\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach
\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach

To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).

II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$

Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).

Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przeprowadzisz niepełne dowodzenie np. uwzględnisz jedynie wariant \((3n+1)^2\) pomijając \((3n+2)^2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(n\) - liczba naturalna
\(3n\) - liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))

Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).

Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).
Musimy zweryfikować obydwa warianty.

Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+1\):
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1= \\
=3(3n^2+2n)+1$$

Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+2\):
$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4= \\
=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$

W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawną zależność średniej prędkości np. \(V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s\) - trasa z punktu \(A\) do \(C\)
\(s_{AB}=s_{BC}=\frac{1}{2}s\) - trasa z punktu \(A\) do \(B\) oraz z \(B\) do \(C\) (bo punkt \(B\) znajduje się dokładnie w połowie drogi)
\(t_{AB}\) - czas jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(t_{BC}\) - czas jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
\(v_{AB}=40\) - prędkość jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(v_{BC}=60\) - prędkość jazdy z punktu \(B\) do \(C\)

Krok 2. Zapisanie wzoru na czas jazdy.
Korzystając ze wzoru na prędkość możemy wyznaczyć wzór na czas jazdy:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$

Spróbujmy teraz wyznaczyć wzory na czas jazdy na poszczególnych odcinkach.
Czas jazdy na trasie \(AB\):
$$t_{AB}=\frac{s_{AB}}{v_{AB}} \\
t_{AB}=\frac{\frac{1}{2}s}{40} \\
t_{AB}=\frac{1}{80}s=\frac{s}{80}$$

Czas jazdy na trasie \(BC\):
$$t_{BC}=\frac{s_{BC}}{v_{BC}} \\
t_{BC}=\frac{\frac{1}{2}s}{60} \\
t_{BC}=\frac{1}{120}s=\frac{s}{120}$$

Krok 3. Obliczenie wartości średniej prędkości na całej trasie.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami droga jest równa \(s\), a czas całej jazdy będzie równy \(t_{AB}+t_{BC}\), zatem:
$$\require{cancel}
V=\frac{s}{t_{AB}+t_{BC}} \\
V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}} \\
V=\frac{s}{\frac{3s}{240}+\frac{2s}{240}} \\
V=\frac{s}{\frac{5s}{240}} \\
V=s:\frac{5s}{240} \\
V=\cancel{s}\cdot\frac{240}{5\cancel{s}} \\
V=\frac{240}{5} \\
V=48\left[\frac{km}{h}\right]$$

Średnia prędkość na całej trasie jest więc równa \(48km/h\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od \(1\) do \(16\) (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na \(16\) różnych sposobów (bo dostanie numer od \(1\) do \(16\)). Drugiej osobie możemy dać bilet na \(15\) sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$

Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16) \\
(2,1), (2,3), (2,4)... (2,16) \\
... \\
(16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)$$

Otrzymaliśmy \(16\) różnych wierszy, a w każdym wierszu jest \(15\) różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu \((1,1), (2,2)\) itd.). Łącznie jest ich więc \(16\cdot15=240\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na \(1.\) miejscu, a Małgosia na \(2.\) miejscu (czyli \((1,2)\)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na \(2.\) miejscu i Małgosia siedząca na \(1.\) miejscu (zdarzenie \((2,1)\)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) \\
(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$

W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16) \\
(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$

Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: \(|A|=28\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz relacje między polami dwóch dowolnych trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole jednego z trójkątów: \(ABO\) i\lub \(OCD\) i\lub \(ABD\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(OBC\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Obliczenie pola trójkąta \(OCD\) oraz \(ACD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\), możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować:



Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(OCD\) (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to:
$$P_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h \\
P_{OCD}=0,5x\cdot h$$

Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(AOD\) (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to:
$$P_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot h \\
P_{AOD}=2,5x\cdot h$$

Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(AOD\) jest pięciokrotnie większe od trójkąta \(OCD\). Skoro więc \(P_{AOD}=10\), to \(P_{OCD}=10:5=2\).

Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta \(ACD\):
$$P_{ACD}=P_{AOD}+P_{OCD}=10+2=12$$

Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów \(ABO\) i \(OCD\).
Musimy zauważyć, że trójkąty \(ABO\) i \(OCD\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy?
\(|\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle DOC| \Rightarrow\) kąty wierzchołkowe
\(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle DCA| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe
\(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle CDB| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe

Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek \(AO\) jest pieć razy dłuższy od odcinka \(OC\), to skala podobieństwa wynosi \(k=5\). Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są \(k\) razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest \(k^2\) większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta \(ABO\) jest \(5^2=25\) razy większe od pola trójkąta \(OCD\), czyli:
$$P_{ABO}=25\cdot2=50$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(OBC\).
Spójrzmy na duże trójkąty \(ABD\) oraz \(ABC\). Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę \(|AB|\) oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta \(ABD\) możemy obliczyć bardzo szybko:
$$P_{ABD}=P_{ABO}+P_{AOD} \\
P_{ABD}=50+10 \\
P_{ABD}=60$$

Skoro tak, to także \(P_{ABC}=60\), zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta \(OBC\):
$$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{OBC} \\
60=50+P_{OBC} \\
P_{OBC}=10$$

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników:
$$P_{ABCD}=P_{ABO}+P_{AOD}+P_{OBC}+P_{OCD} \\
P_{ABCD}=50+10+10+2 \\
P_{ABCD}=72$$

Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 2.) oraz gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt \(C\) (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt \(D\), którego współrzędnych poszukujemy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka \(AC\), bowiem znamy współrzędne środka \(M\) i znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu \(C\). Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
1=\frac{3+x_{C}}{2} \\
2=3+x_{C} \\
x_{C}=-1 \\
\text{oraz}\\
y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
6=\frac{3+y_{C}}{2} \\
12=3+y_{C} \\
y_{C}=9$$

Współrzędne punktu \(C\) to w takim razie \(C=(-1;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Potrzebujemy znać równanie prostej \(AB\), bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(D\). Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0 \\
(y-3)6-(-2)(x-3)=0 \\
6y-18-(-2x+6)=0 \\
6y-18+2x-6=0 \\
6y+2x-24=0 \\
6y=-2x+24 \\
y=-\frac{2}{6}x+4 \\
y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(y=-\frac{1}{3}x+4\) przechodzącej przez punkt \(C\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=-\frac{1}{3}\), to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\
a=3$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór \(y=3x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\), tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt \(C\). Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b \\
9=3\cdot(-1)+b \\
9=-3+b \\
b=12$$

Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem \(y=3x+12\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases}
y=-\frac{1}{3}x+4 \\
y=3x+12
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3 \\
-x+12=9x+36 \\
-10x=24 \\
x=-2,4$$

Drugą współrzędną obliczymy podstawiając \(x=-2,4\) do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12 \\
y=-7,2+12 \\
y=4,8$$

To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są \(D=(-2,4;\;4,8)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa i doprowadzisz je do postaci w której jedyną niewiadomą jest długość promienia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=15\) oraz \(H=8\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz obliczyć pole powierzchni całkowitej (patrz: Krok 6.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie przekrój stożka i zaznaczmy na nim odpowiednie miary i oznaczenia:



Warto sobie od razu zapisać, że zgodnie z treścią zadania wysokość stożka jest krótsza o \(22\) od średnicy podstawy (średnicy, nie promienia!). Zatem:
$$H=2r-22$$

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia podstawy.
Możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, podstawiając za wysokość \(H=2r-22\). Otrzymamy wtedy:
$$r^2+H^2=17^2 \\
r^2+(2r-22)^2=289 \\
r^2+4r^2-88r+484=289 \\
5r^2-88r+195=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-88,\;c=195\)
$$Δ=b^2-4ac=(-88)^2-4\cdot5\cdot195=7744-3900=3844 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3844}=62$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)-62}{2\cdot5}=\frac{88-62}{10}=\frac{26}{10}=2,6 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)+62}{2\cdot5}=\frac{88+62}{10}=\frac{150}{10}=15$$

Obydwa rozwiązania są póki co dobre, żadnego z nich nie możemy odrzucić (odrzucilibyśmy np. wtedy, gdyby któraś z wartości wyszła ujemna).

Krok 4. Obliczenie wysokości stożka.
Jeśli \(r_{1}=2,6\), to \(H_{1}=2\cdot2,6-22=5,2-22=-16,8\)
Jeśli \(r_{2}=15\), to \(H_{2}=2\cdot15-22=30-22=8\)

W przypadku pierwszej pary wyszła nam ujemna wysokość, więc odrzucamy całe to rozwiązanie. To oznacza, że jest tylko jedna para liczb, która spełnia warunki naszego zadania: \(r=15\) oraz \(H=8\).

Krok 5. Obliczenie objętości stożka.
Znając promień podstawy i wysokość stożka możemy już bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\
V=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot8π \\
V=\frac{1}{3}\cdot225\cdot8π \\
V=\frac{1}{3}\cdot1800π \\
V=600π$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej.
$$P_{c}=πr\cdot(r+l) \\
P_{c}=π\cdot15\cdot(15+17) \\
P_{c}=π\cdot15\cdot32 \\
P_{c}=480π$$