Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2008 – Odpowiedzi

A

Tego zadania nie można rozwiązać w sposób typu: \(6\%-1\%=5\%\), bo energia słoneczna stanowi \(1\%\) energii odnawialnej, a nie \(1\) punkt procentowy. Jak więc powinniśmy podejść do tego zadania?

Odnawialne źródła energii stanowią \(6\%\) udziału wszystkich źródeł energii. Z tych \(6\%\) zaledwie \(1\%\) stanowi energia słoneczna. Musimy zatem wykonać następujące działanie:
$$0,01\cdot6\%=0,06\%$$

A

Zgodnie z zasadami tworzenia diagramów kołowych, kąt \(AOB\) musi stanowić \(6\%\) miary kąta pełnego \(360°\). Będzie to zatem kąt:
$$0,06\cdot360°=21,6°$$

A

Zgodnie z wykresem drewno opałowe jest podstawowym źródłem zużywanej energii w gospodarstwach niezamożnych.

D

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie mniej gazu ziemnego niż niezamożne.
Komentarz: To nieprawda, bo słupek wykresu dla gazu ziemnego w gospodarstwach zamożnych jest nieco wyższy niż w przypadku gospodarstw niezamożnych.

Odp. B. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie więcej energii uzyskanej z gazu ziemnego niż pozostałe.
Komentarz: To nieprawda, bo więcej gazu od gospodarstw zamożnych zużywają gospodarstwa średnio zamożne.

Odp. C. Wszystkie gospodarstwa zużywają głównie energię uzyskaną z paliw płynnych.
Komentarz: To nieprawda, bo w przypadku gospodarstw niezamożnych głównym źródłem energii jest drewno opałowe.

Odp. D. Gospodarstwa zamożne zużywają przeciętnie więcej energii elektrycznej i paliw płynnych niż pozostałe.
Komentarz: To prawda, gospodarstwa zamożne używają znacznie więcej energii elektrycznej i paliw płynnych niż pozostałe gospodarstwa.

D

We wszystkich odpowiedziach mamy \(4,1868\) pomnożone przez \(10\) do danej potęgi, więc i my musimy dopasować się do tych odpowiedzi. Możemy to zapisać w następujący sposób:
$$1MJ=1\;000\;000J=1\cdot10^6J \\
41\;868 MJ=41\;868\cdot10^6J=4,1868\cdot10^{10}$$

A

Zużycie energii na mieszkańca możemy odczytać z ostatniej kolumny i widzimy wyraźnie, że największą wartość (zużycie na poziomie \(7,98\)) osiąga USA.

D

W Indiach \(1049\) milionów ludzi zużywa średnio na mieszkańca \(0,51\) toe energii. Gdyby ci sami ludzie zużywali tyle samo energii co przeciętny Amerykanin, to przeciętne zużycie wzrosłoby do \(7,98\) toe. Przeciętne zużycie wzrosłoby zatem o \(7,98-0,51\). W związku z tym Indie zużywałyby \((7,98-0,51)\cdot1049\) toe energii więcej.

C

Prześledźmy każdą odpowiedź:
Odp. A. W Afryce zużywa się mniej energii niż na każdym z pozostałych kontynentów.
Komentarz: Brakuje nam informacji, by stwierdzić czy to prawda, bo nie mamy informacji dotyczącej niektórych kontynentów np. Ameryki Południowej czy też Azji.

Odp. B. Najwięcej energii zużywa się na kontynencie południowoamerykańskim.
Komentarz: Brakuje nam informacji, by stwierdzić czy jest to prawda, bo nie ma tego kontynentu podanego w tabeli.

Odp. C. W Azji zużywa się więcej energii niż w UE.
Komentarz: To zdanie jest prawdą, bo choć nie mamy podanego kontynentu azjatyckiego w tabeli, to widzimy że same Indie oraz Chiny (znajdujące się w Azji) zużywają łącznie \(539+1245=1784\) toe energii, czyli więcej niż UE.

Odp. D. W Ameryce Północnej zużywa się mniej energii niż w UE.
Komentarz: To zdanie jest nieprawdą, bo choć nie mamy pełnej informacji na temat Ameryki Południowej, to już same USA ma zużycie większe niż UE, więc tym bardziej kontynent Ameryka Północna ma także zużycie większe niż UE.

A

Łączna suma wieku wszystkich uczestników jest równa:
$$13\cdot10+1\cdot12+2\cdot17=130+12+34=176$$

Skoro mamy \(13+1+2=16\) osób, to średnia wieku wyniesie:
$$176:16=11$$

D

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(p\) - liczba osób niepełnoletnich
\(0,5p\) - liczba osób pełnoletnich poniżej \(60\)-tego roku życia
\(\frac{p}{k}\) - liczba osób pozostałych pełnoletnich

Krok 2. Zapisanie równania.
Musimy ułożyć równanie które powie jaka jest liczba ludności tego państwa. To oznacza, że te trzy wyrażenia zapisane w pierwszym kroku musimy po prostu do siebie dodać:
$$p+0,5p+\frac{p}{k}=1,5p+\frac{p}{k}$$

Pole powierzchni prostopadłościanu jest nieco ponad \(1,5\) razy większe od pola powierzchni kuli.

Krok 1. Obliczenie objętości kuli.
Korzystając z danych zawartych w treści zadania oraz przybliżenia \(π=3\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość kuli:
$$V=\frac{4}{3}πr^3 \\
V=\frac{4}{3}π\cdot10^3 \\
V=\frac{4000}{3}π \\
V=\frac{4000}{3}\cdot3 \\
V=4000[cm^3]$$

Krok 2. Obliczenie brakującej długości krawędzi prostopadłościanu.
Do obliczenia pola powierzchni prostopadłościanu brakuje nam długości tej dłuższej krawędzi podstawy. Możemy ją obliczyć korzystając z informacji, że objętość kuli jest równa objętości prostopadłościanu, czyli \(V=4000cm^3\). W związku z tym:
$$V=abc \\
4000=a\cdot8\cdot12,5 \\
4000=100a \\
a=40[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni kuli.
Istotą zadania jest policzenie pola powierzchni kuli i prostopadłościanu i porównanie tych dwóch wartości. Zacznijmy od pola powierzchni kuli:
$$P_{k}=4πr^2 \\
P_{k}=4π\cdot10^2 \\
P_{k}=400π \\
P_{k}=400\cdot3 \\
P_{k}=1200[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
W kroku drugim obliczyliśmy brakującą długość krawędzi prostopadłościanu, więc teraz bez przeszkód możemy obliczyć jego pole powierzchni:
$$P_{p}=2ab+2ac+2bc \\
P_{p}=2\cdot40\cdot8+2\cdot40\cdot12,5+2\cdot8\cdot12,5 \\
P_{p}=640+1000+200 \\
P_{p}=1840[cm^2]$$

Krok 5. Porównanie pól powierzchni obydwu brył.
Musimy jeszcze odpowiedzieć na pytanie ile razy prostopadłościan ma większe pole powierzchni od kuli, zatem:
$$\frac{P_{p}}{P_{k}}=\frac{1840}{1200}\approx1,53\approx1,5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie objętość kuli (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie pole powierzchni kuli (Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz jedynie objętość i pole powierzchni kuli (Krok 1. i 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz jedynie brakującą długość krawędzi prostopadłościanu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni prostopadłościanu (Krok 4.), ale nie obliczysz pola powierzchni kuli (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni kuli i prostopadłościanu (Krok 3. i 4.), ale nie obliczysz stosunku powierzchni tych pól.
5 pkt
• Gdy obliczysz wszystkie elementy, ale otrzymany wynik jest niepoprawny z powodu błędu rachunkowego, bądź też nie wykonasz poprawnego zaokrąglenia.
6 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Słup powinien stać \(21,1m\) od elektrowni. Niepotrzebną daną była wysokość słupa elektrowni wiatrowej.

Krok 1. Obliczenie odległości słupa elektrowni od ściany domu.
Zgodnie z danymi zapisanymi w treści zadania poszukiwaną odległość obliczymy w następujący sposób:
$$2\cdot12,3m-3,5m=24,6m-3,5m=21,1m$$

Krok 2. Wybranie niepotrzebnej danej.
Niepotrzebną daną w tym zadaniu była wysokość słupa elektrowni wiatrowej, która wynosi \(16,5m\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz odległość słupa elektrowni od ściany domu oraz zapiszesz która dana jest niepotrzebna (Krok 1. i 2.).

\(a=77cm\) oraz \(12n+5\)

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(a\).
Musimy zauważyć, że dołożenie każdej kolejnej płytki nie zwiększa nam długości chodnika o \(17cm\), bo płytki na siebie zachodzą. Dołożenie każdej kolejnej płytki zwiększa nam długość chodnika o \(29cm-17cm=12cm\).

Musimy obliczyć długość \(6\) płytek. Możemy więc to policzyć w taki sposób, że do pierwszej płytki o długości \(17cm\) dodano pięciu kolejnych płytek, z których każda zwiększa długość o \(12cm\). Otrzymamy zatem długość chodnika równą:
$$a=17cm+5\cdot12cm=17cm+60cm=77cm$$

Krok 2. Zapisanie wyrażenia algebraicznego.
Drugą częścią naszego zadania jest tak naprawdę ustalenie wzoru na długość chodnika. Skorzystamy już z tego co przeanalizowaliśmy sobie w pierwszym kroku, czyli z informacji że długość chodnika jest równa \(17cm\) pierwszej płytki plus \(12cm\) pomnożone przez tyle ile jest dodatkowo dołożonych płytek. Jeśli mamy mieć chodnik składający się z \(n\) płytek, to znaczy że do płytki początkowej trzeba dolożyć jeszcze \(n-1\) dodatkowych płytek, zatem nasz wzór miałby następującą postać:
$$17+12(n-1) \\
17+12n-12 \\
12n+5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(a\) oraz zapiszesz poprawnie poszukiwane wyrażenie algebraiczne (Krok 1. i 2.).

\(BE=20km\) oraz \(CE\approx17,3km\)

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BEC\).
Aby obliczyć miarę kąta \(BEC\) skorzystamy z własności trójkąta \(BCE\), którego suma kątów musi być równa \(180°\). W tym trójkącie znamy miary dwóch kątów, a nasz kąt \(BEC\) jest tym trzecim poszukiwanym, więc jego miarę obliczymy w następujący sposób:
$$|\sphericalangle BEC|=180°-60°-90°=30°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AEB\).
Teraz musimy obliczyć miarę kąta \(AEB\). Możemy to zrobić w zasadzie na dwa sposoby:
I sposób - korzystając z trójkąta \(ABE\):
Spójrzmy na trójkąt \(ABE\). Znamy tu tylko miarę kąta \(EAB\), ale w prosty sposób możemy wyznaczyć miarę kąta \(ABE\), bowiem kąty \(ABE\) i \(EBC\) są przyległe. Zatem:
$$|\sphericalangle ABE|=180°-60°=120°$$

Znając miarę kąta \(ABE\) bez problemu obliczymy już miarę kąta \(AEB\), bowiem suma kątów w trójkącie \(ABE\) musi być równa jak zawsze \(180°\):
$$|\sphericalangle ABE|=180°-30°-120°=30°$$

II sposób - korzystając z trójkąta \(ACE\):
Kąt \(AEB\) to kąt \(AEC\) pomniejszony o miarę kąta \(BEC\). Kąt \(AEC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AEC|=180°-30°-90°=60°$$

Skoro kąt \(BEC\) ma miarę \(30°\), to nasz kąt \(AEB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AEB|=60°-30°=30°$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BE\).


Na powyższym rysunku zaznaczone zostały te wszystkie kąty które już sobie przed chwilą wyznaczyliśmy. Kolejnym naszym zadaniem jest zgodnie z treścią wyznaczenie długości boku \(BE\). Aby tego dokonać musimy zauważyć, że trójkąt \(ABE\) jest trójkątem równoramiennym o ramionach \(AB\) oraz \(BE\) (zaznaczone na zielono). Wiemy to stąd, że ma on dwie identyczne miary kątów u swojej podstawy (po \(30°\)). A skoro tak, to oznacza, że długość boku \(BE\) jest dokładnie taka sama jak boku \(AB\). Długość boku \(AB\) jest podana i wynosi \(20km\), zatem także \(BE=20km\).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(CE\).
Do wyznaczenia długości boku \(CE\) możemy wykorzystać własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Znamy długość boku \(BE\), jest ona równa \(20km\). To z kolei oznacza, że długość boku \(BC\) jest dwa razy krótsza i wynosi \(10km\), a długość boku \(CE\) wynosi \(10\sqrt{3}km\approx17,3km\).

Jeżeli jednak nie znamy lub nie pamiętamy o własnościach trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) to możemy dostrzec, że trójkąt \(BCE\) jest połową pewnego trójkąta równobocznego, a odcinek \(CE\) jest tak naprawdę wysokością tego trójkąta:


W tym momencie musimy dostrzec, że odcinek \(BC\) będzie w takim razie równy połowie długości odcinka \(BE\), czyli \(BC=10km\). Długość odcinka \(CE\) wyznaczymy więc już wprost z Twierdzenia Pitagorasa:
$$10^2+|CE|^2=20^2 \\
100+|CE|^2=400 \\
|CE|^2=300 \\
|CE|^2=100\cdot3 \\
|CE|=10\sqrt{3}\approx17,3km$$

Zgodnie z poleceniem otrzymany wynik został zaokrąglony do części dziesiętnych, zatem zadanie możemy uznać za rozwiązane.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(BEC\)) (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz miarę kąta \(AEB\)) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz miary kątów \(BEC\) oraz \(AEB\) (Krok 1. i 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(BE\) (Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(CE\) (Krok 4.), ale nie wykonasz poprawnego zaokrąglenia, bądź też otrzymany wynik jest błędny jedynie z powodu błędu rachunkowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.